Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

14
n
t
dcx
bax
=
+
+
,
где
n
– общий знаменатель дробей
,...,
2
2
1
1
q
p
q
p
(наименьшее общее кратное чисел
,...,
21
qq ). В результате этой подстановки подынтегральная функция преобразу-
ется в рациональную.
Пример
. Вычислить
∫
+
=
4
xx
dx
I
.
Δ
Положим
4
t
x
=
; тогда
dttdx
3
4=
и
∫∫∫
=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+−=
+
+−
=
+
= Ctt
t
dt
t
t
t
dtt
t
dtt
I |1|ln
2
4
1
1
14
1
)11(
4
1
4
222
Cxxx +++−= )1ln(442
44
. ▲
б) Интегралы вида
∫
+ dxbxax
pnm
)( .
Подынтегральное выражение
pnm
bxax )( + называют дифференциальным
биномом.
Данный интеграл выражается в конечном виде (т.е. первообразная пред-
ставляет собой элементарную функцию) лишь в следующих трех случаях (этот
результат получен выдающимся русским математиком и механиком Пафнутием
Львовичем Чебышёвым (1821 – 1894) ):
1)
если
p
– целое число. В этом случае используют разложение на слагаемые
по формуле бинома Ньютона;
2)
если
n
m 1+
– целое число. Тогда применяется подстановка
sn
tbxa =+
, где
s
– знаменатель дроби
p
;
3)
если p
n
m
+
+1
– целое число. В этом случае используется подстановка
sn
tbax =+
−
, где, по-прежнему,
s
– знаменатель дроби
p
.
Пример
. Вычислить
dx
x
x
I
∫
+
=
3
4
1
.
Δ
Перепишем исходный интеграл
dxxxI
3
1
4
1
2
1
)1( +=
∫
−
.
Это интеграл от дифференциального бинома, где
3
1
,
4
1
,
2
1
==−= pnm ;
2
1
=
+
n
m
. Следовательно, имеет место случай 2) интегрируемости.
Подстановка
3
4
1
1 t
x
=+ дает:
dtttdxtx
33243
)1(12,)1( −=−=
. Поэтому 
                                                                                                    14

                                                ax + b n
                                                         =t ,
                                                cx + d
                                                  p p
где n – общий знаменатель дробей 1 , 2 ,... (наименьшее общее кратное чисел
                                                  q1 q2
q1 , q2 ,... ). В результате этой подстановки подынтегральная функция преобразу-
ется в рациональную.
                                                dx
         Пример. Вычислить I = ∫                       .
                                              x+4 x
Δ Положим x = t 4 ; тогда dx = 4t 3 dt и
         t 2 dt      (t 2 − 1 + 1) dt      ⎛           1 ⎞         ⎛ t2                  ⎞
I = 4∫          = 4∫                  = 4∫ ⎜ t − 1 +      ⎟ dt = 4⎜⎜ − t + ln | t + 1 | ⎟⎟ + C =
         t +1              t +1            ⎝         t + 1⎠        ⎝2                    ⎠
                                                                = 2 x − 44 x + 4 ln( 4 x + 1) + C . ▲
                         б) Интегралы вида ∫ x m (a + bx n ) p dx .
      Подынтегральное выражение x m (a + bx n ) p называют дифференциальным
биномом.
      Данный интеграл выражается в конечном виде (т.е. первообразная пред-
ставляет собой элементарную функцию) лишь в следующих трех случаях (этот
результат получен выдающимся русским математиком и механиком Пафнутием
Львовичем Чебышёвым (1821 – 1894) ):
1) если p – целое число. В этом случае используют разложение на слагаемые
   по формуле бинома Ньютона;
          m +1
2) если           – целое число. Тогда применяется подстановка a + bx n = t s , где s
            n
   – знаменатель дроби p ;
           m +1
3) если            + p – целое число. В этом случае используется подстановка
             n
   ax − n + b = t s , где, по-прежнему, s – знаменатель дроби p .
   Пример. Вычислить
                                               3
                                                   1+ 4 x
                                        I =∫              dx .
                                                     x
Δ   Перепишем исходный интеграл
                                                  1          1 1
                                              −
                                     I = ∫x       2 (1 +   x 4 ) 3 dx .
                                                                                 1   1    1
Это интеграл от дифференциального бинома, где                                 m=− ,n= , p= ;
                                                                                 2   4    3
m +1
     = 2 . Следовательно, имеет место случай 2) интегрируемости.
 n
                            1
       Подстановка 1 +     x4   = t 3 дает: x = (t 3 − 1) 4 , dx = 12t 2 (t 3 − 1) 3 dt . Поэтому

Страницы