Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 10 стр.

                                                                                                              10

                                     t dt                      1
                               ∫ (t 2 + a 2 ) k   =
                                                2(1 − k )(t 2 + a 2 ) k −1
                                                                            +C;

что касается второго интеграла, то замена t = au сводит его к интегралу типа
(6) и, следовательно, для его вычисления можно воспользоваться рекуррентной
формулой (7).
        Разложение правильных рациональных дробей на сумму простых
                                                                                          P( x)
       Рассмотрим теперь произвольную правильную дробь                                          . Ее интегри-
                                                                                          Q( x)
рование основано на теореме из алгебры, устанавливающей, что каждая пра-
вильная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа про-
стых дробей.
       Указанное представление тесным образом связано со следующим утвер-
ждением: любой многочлен Q(x) с вещественными коэффициентами может
быть представлен в виде произведения
  Q( x) = A( x − a1 )α 1 ( x − a2 )α 2 ...( x − a s )α s ( x 2 + p1 x + q1 ) β 1 ...( x 2 + pk x + qk ) β k , (9)
где α i , β i ∈ N , ai , pi , qi ∈ R , а многочлены x 2 + pi x + qi не имеют действитель-
ных корней. При этом, конечно, выполняется соотношение
                            α1 + ... + α s + 2( β1 + ... + β k ) = deg Q( x) .
Целые числа α 1 , α 2 ,...,α s называются соответственно кратностями корней
a1 , a2 ,..., a s , а целые числа β 1 , β 2 ,..., β k – кратности соответствующих ком-
плексно сопряженных корней многочлена Q( x) .
         Приведем теперь без доказательства теорему о разложении правильной
рациональной дроби на сумму простых, которая и позволяет интегрировать ра-
циональные функции.
                               P( x)
         Теорема 4. Пусть              – правильная рациональная дробь, а знаменатель
                               Q( x)
                                                                                P( x)
Q( x) разлагается на множители в виде (9). Тогда дробь                                  можно единст-
                                                                                Q( x)
венным образом представить в виде суммы простых дробей:
 P( x)        A          A12               A1α 1
        = 11 +                 + ... +            α
                                                      + ... +
Q ( x) x − a1 ( x − a1 ) 2             ( x − a1 ) 1
                                                                As1          As 2                 Asα s
                                                           +          +               + ... +                +
                                                              x − as ( x − as )     2
                                                                                              ( x − a s )α s
     M x + N11            M x + N12                    M 1β1 x + N1β 1
+ 2 11                + 2 12               + ... +                     β
                                                                           + ... +
   x + p1 x + q1 ( x + p1 x + q1 ) 2                ( x 2 + p1 x + q1 ) 1
                             M x + N k1            M x + Nk2                      M kβ k x + N kβ k
                         + 2 k1             + 2 k2                     + ... +                          , (10)
                           x + pk x + qk ( x + pk x + qk ) 2                   ( x 2 + pk x + qk ) β k
где Aij , M ij , N ij – вещественные числа.