Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

8
∫∫
+
++
−=
+
−+
=
+
1
12
2
12
2
)1(
11
)1(
nn
nn
IIdx
x
x
x
dxx
.
Поэтому
1
2
22
)1(
+
−+
+
=
nn
n
n
nInI
x
x
I
.
Отсюда
n
n
n
I
n
xn
x
I
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
+
=
+
2
1
1
)1(2
2
1
. (7)
Полученная формула сводит вычисление интеграла
1+n
I к вычислению интегра-
ла
n
I с меньшим на единицу показателем степени. Формулы такого типа назы-
вают рекуррентными. Применим, например, формулу (7) к вычислению инте-
грала
2
I . Так как интеграл
1
I является табличным, а именно, CxarctgI +=
1
, то
из (7) получим (при
1
=
n
):
∫
++
+
=
+
Cxarctg
x
x
x
dx
2
1
)1(2)1(
222
. ▲
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
1. Рациональные функции. Напомним, что рациональной функцией или
рациональной дробью называется функция вида
)(
)(
)(
xQ
xP
xf =
,
где )(
x
P
и )(
x
Q – многочлены. Рациональная дробь )(
x
f
называется правиль-
ной дробью, если )(deg)(deg
x
Q
x
P
<
, и неправильной дробью в противном слу-
чае.
Если функция )(
x
f
является неправильной дробью, то, выполнив деле-
ние, получим равенство
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xW
xQ
xP
+=
,
в котором )(
x
W – некоторый многочлен, а выражение
)(
)(
xQ
xR
является правиль-
ной дробью. Например,
1
3
42
1
122
2
2
2
24
+
+
+−=
+
−+−
x
x
x
x
xxx
.
Таким образом, если требуется вычислить интеграл от неправильной дро-
би
)(
)(
xQ
xP
, то получим
∫∫∫
+= dx
xQ
xR
dxxWdx
xQ
xP
)(
)(
)(
)(
)(
, 
                                                                                       8

                              x 2 dx       x2 + 1 − 1
                       ∫ ( x 2 + 1) n+1 ∫ ( x 2 + 1) n+1 dx = I n − I n+1 .
                                       =

Поэтому
                                        x
                             In =              + 2nI n − 2nI n+1 .
                                    ( x + 1) n
                                        2

Отсюда
                                             x          ⎛     1 ⎞
                              I n+1 =                 + ⎜ 1 −   ⎟ In .       (7)
                                       2n( x 2 + 1) n ⎝ 2n ⎠
Полученная формула сводит вычисление интеграла I n+1 к вычислению интегра-
ла I n с меньшим на единицу показателем степени. Формулы такого типа назы-
вают рекуррентными. Применим, например, формулу (7) к вычислению инте-
грала I 2 . Так как интеграл I1 является табличным, а именно, I1 = arctg x + C , то
из (7) получим (при n = 1 ):
                             dx             x        1
                      ∫ ( x 2 + 1) 2 = 2( x 2 + 1) + 2 arctg x + C . ▲

         ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
       1. Рациональные функции. Напомним, что рациональной функцией или
рациональной дробью называется функция вида
                                               P( x)
                                      f ( x) =       ,
                                               Q( x)
где P (x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь f (x) называется правиль-
ной дробью, если deg P ( x) < deg Q ( x) , и неправильной дробью в противном слу-
чае.
       Если функция f (x) является неправильной дробью, то, выполнив деле-
ние, получим равенство
                                 P( x)             R( x)
                                        = W ( x) +       ,
                                Q( x)              Q( x)
                                                                 R( x)
в котором W (x) – некоторый многочлен, а выражение                     является правиль-
                                                                 Q( x)
ной дробью. Например,
                       2x4 − 2x2 + x − 1                   x+3
                               2
                                              = 2x2 − 4 + 2      .
                              x +1                         x +1
       Таким образом, если требуется вычислить интеграл от неправильной дро-
    P( x)
би        , то получим
   Q( x)
                           P( x)                       R( x)
                         ∫ Q( x) dx = ∫ W ( x) dx + ∫ Q( x) dx ,

Страницы