ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Ë å ê ö è ÿ
È ÑÑË ÅÄ Î ÂÀ Í È Å Ï Î ÂÅÄ ÅÍ È ß ÔÓÍ Ê ÖÈ É È Ï Î ÑÒÐÎ ÅÍ È Å ÃÐÀ ÔÈ ÊÎ Â
Ì û áóäåì ðàññì àòðèâàòü òî ëüêî ÿâí û å ôóí êöèè, ò.å. ôóí êöèè , çàäàí í û å ñî -
î òí î ø åí èåì ó = f (x), x C D (f ), ãäå D (f ) — î áëàñòü î ï ðåäåëåí èÿ ô óí êöèè .
1. '× åòí û å, í å÷ åòí û å, ï åðè î ä è÷ åñêè å ô óí êöè è .
0 ï ð å ä å ë å í è å. Ôóí êöèÿ ó = f (x) í àçû âàåòñÿ ÷åò í î é, åñëè
f ( x ) = f ( — õ ) V x c D ( f ) .
0 ï ð å ä å sr å í è å. Ô ó í ê ö è ÿ ó = f ( x ) í à çû â à åò ñÿ í å÷ åò í î é , åñë è
/ ( õ ) = — f ( — õ ) × õ Å D ( f ) .
0 ï ð å ä å ë å í è å. Ôóí êöèÿ ó = f (x ) í àçû âàåòñÿ ï åðèî äè÷åñêî é, åñëè
ñóù åñòâóåò ÷èñëî Ò ô Î , í àçû âàåì î å ï åðèî äî ì ô óí êöèè ó = f (x ), òàêî å, ÷òî
f ( x ) = f ( x + Ò ) = f ( x — Ò ) V x C D ( f ) .
Î áû ÷í î ï î ä ï åðè î äî ì ô óí êöèè ï î í èì àþ ò í àèì åí üø èé èç ï î ëî æèòåëüí û õ ï åðè-
äî â, åñëè òàêî é ï åðèî ä ñóù åñòâóåò.
2. Ë î êàë üí û é ýêñòð åì óì ô óí êöè è . Ï óñòü ôóí êöèÿ ó = / (õ) î ï ðåä åëåí à â
í åêî òî ðî é î êðåñòí î ñòè òî ÷êè xo.
0 ï ð å ä å ë å í è å. Ãî âî ðÿò, ÷òî ô óí êöèÿ ó = / (õ) èì ååò â òî ÷êå õî ëî êàëüí û é
ì àêñèì óì (ì èí èì óì ) , åñëè ñóù åñòâóåò òàêàÿ ï ðî êî ëî òàÿ î êðåñòí î ñòü òî ÷êè õî ,
äëÿ âñåõ òî ÷åê õ êî òî ðî é âû ï î ëí ÿåòñÿ í åðàâåí ñòâî f (x ) ( f (xo) (ñî î òâåòñòâåí í î
/ (õ) > / (õî ) ).
Ë î êàëüí û é ì àêñèì óì è ëî êàëüí û é ì èí èì óì î áú åäèí ÿþ òñÿ î áù èì í àçâàí èåì
ëî êàë üí û é ýêñò ðåì óì (èëè ï ðî ñòî ýêñò ðåì óì ).
Ò å î ð å ì à 1 (í åî áõî äèì î å óñëî âèå ýêñòðåì óì à). Åñëè ôóí êöèÿ ó = f (x )
èì ååò â ò î ÷êå õ~ ýêñò ðåì óì , ò î ï ðî èçâî äí àÿ f (õ) â ò î ÷êå õ~ èë è ðàâí à í óëþ
èëè í å ñóù åñò âóåò .
Çí à÷åí èÿ àðãóì åí òà ô óí êöèè ó = / (õ) , ï ðè êî òî ðû õ ëè áî ï ðî è çâî äí àÿ ô óí ê-
öèè ðàâí à í óëþ , ëè áî ï ðî èçâî äí àÿ í å ñóù åñòâóåò, í î ñàì à ô óí êöèÿ í åï ðåðû âí à,
ï ðèí ÿòî í àçû âàòü ò î ÷êàì è âî çì î æ í î ãî ýêñò ðåì óì à (èëè êðèò è÷åñêèì è ò î ÷êà-
ì è).
Ò å î ð å ì à 2 (ï åðâî å ä î ñòàòî ÷í î å óñëî âèå ýêñòðåì óì à). Ï óñò ü ôóí êöèÿ ó =
f (x ) äèôô åðåí öèðóåì à â í åêî ò î ðî é î êðåñò í î ñò è êðèò è÷åñêî é ò î ÷êè õî . Òî ãäà
åñë è ï ðè ï åðåõî äå ÷åðåç ò î ÷êó õ~ (â ñò î ðî í ó âî çðàñò àí èÿ õ) ï ðî èçâî äí àÿ f (x)
ì åí ÿåò çí àê ñ ï ëþ ñà í à ì èí óñ (ñ ì èí óñà í à ï ëþ ñ), ò î â ò î ÷êå õî ôóí êöèÿ ó =
/ (õ) èì ååò ëî êàë üí û é ì àêñèì óì (ì èí èì óì ) . Åñëè ï ðè ï åðåõî äå ÷åðåç ò î ÷êó õî
ï ðî èçâî äí àÿ ôóí êöèè í å ì åí ÿ åò çí àêà, ò î â ò î ÷êå õî ôóí êöèÿ ó = f (x ) í å èì ååò
ýêñò ðåì óì à.
Ë åêö è ÿ
È ÑÑË ÅÄ Î ÂÀ Í È Å Ï Î ÂÅÄ ÅÍ È ß ÔÓÍ Ê ÖÈ É È Ï Î ÑÒÐÎ ÅÍ È Å ÃÐÀ ÔÈ Ê Î Â
Ì û áóä åì ðàññì àòðèâàòü òî ëüêî ÿ âí û å ô óí êöèè , ò.å. ô óí êöèè , çàä àí í û å ñî -
î òí î ø åí è åì ó = f ( x ) , x C D (f ) , ãä å D (f ) — î áëàñòü î ï ðåä åëåí èÿ ô óí êöèè .
1. '× åòí û å, í å÷ åòí û å, ï åð è î ä è÷ åñêè å ô óí êö è è .
0 ï ð å ä å ë å í è å. Ôóí êöèÿ ó = f (x ) í àçû âàåòñÿ ÷åò í î é, åñëè
f ( x ) = f ( —õ ) Vx c D (f ).
0 ï ð å ä å sr å í è å . Ô ó í ê ö è ÿ ó = f ( x ) í à çû â à åò ñÿ í å÷ åò í î é , å ñ ë è
/ ( õ ) = —f ( —õ ) × õ Å D (f ).
0 ï ð å ä å ë å í è å. Ôóí êöèÿ ó = f (x ) í àçû âàåòñÿ ï åðèî äè÷åñêî é, åñëè
ñóù åñòâóåò ÷è ñëî Ò ô Î , í àçû âàåì î å ï åðè î ä î ì ô óí êöèè ó = f (x ) , òàêî å, ÷òî
f (x ) = f (x + Ò ) = f (x — Ò ) Vx C D (f ).
Î áû ÷í î ï î ä ï åðè î ä î ì ô óí êöèè ï î í èì àþ ò í àèì åí üø èé èç ï î ëî æèòåëüí û õ ï åðè-
ä î â, åñëè òàêî é ï åðè î ä ñóù åñòâóåò.
2. Ë î êàë üí û é ýêñòð åì óì ô óí êö è è . Ï óñòü ô óí êöèÿ ó = / (õ) î ï ðåä åëåí à â
í åêî òî ð î é î êðåñòí î ñòè òî ÷êè x o.
0 ï ð å ä å ë å í è å. Ãî âî ðÿ ò, ÷òî ô óí êöèÿ ó = / (õ) èì ååò â òî ÷êå õî ë î êàë üí û é
ì àêñèì óì (ì èí èì óì ) , åñëè ñóù åñòâóåò òàêàÿ ï ðî êî ëî òàÿ î êðåñòí î ñòü òî ÷êè õî ,
ä ëÿ âñåõ òî ÷ åê õ êî òî ðî é âû ï î ëí ÿ åòñÿ í åðàâåí ñòâî f (x ) ( f (x o) ( ñî î òâåòñòâåí í î
/ (õ) > / (õî ) ).
Ë î êàëüí û é ì àêñèì óì è ëî êàëüí û é ì èí èì óì î áú åäèí ÿ þ òñÿ î áù èì í àçâàí è åì
ë î êàë üí û é ýêñò ðåì óì (è ëè ï ðî ñòî ýêñò ð åì óì ).
Ò å î ð å ì à 1 (í åî áõî äèì î å óñëî âè å ýêñòðåì óì à) . Å ñë è ôóí êöèÿ ó = f (x )
èì ååò â ò î ÷êå õ~ ýêñò ð åì óì , ò î ï ðî èçâî äí àÿ f (õ) â ò î ÷êå õ~ èë è ðàâí à í óëþ
èë è í å ñóù åñò âóåò .
Çí à÷åí èÿ àðãóì åí òà ô óí êöèè ó = / (õ) , ï ðè êî òî ðû õ ëè áî ï ðî è çâî äí àÿ ô óí ê-
öèè ð àâí à í óëþ , ëè áî ï ðî è çâî äí àÿ í å ñóù åñòâóåò, í î ñàì à ô óí êöèÿ í åï ð åðû âí à,
ï ðèí ÿ òî í àçû âàòü ò î ÷êàì è âî çì î æ í î ãî ýêñò ð åì óì à (èëè êðèò è÷åñêèì è ò î ÷êà-
ì è) .
Ò å î ð å ì à 2 (ï åðâî å ä î ñòàòî ÷í î å óñëî âè å ýêñòðåì óì à) . Ï óñò ü ôóí êöèÿ ó =
f (x ) äèôô åð åí öèðóåì à â í åêî ò î ðî é î êð åñò í î ñò è êðèò è÷åñêî é ò î ÷êè õî . Òî ãäà
åñë è ï ðè ï åð åõî äå ÷åð åç ò î ÷êó õ~ ( â ñò î ðî í ó âî çðàñò àí èÿ õ) ï ðî èçâî äí àÿ f (x )
ì åí ÿ åò çí àê ñ ï ë þ ñà í à ì èí óñ ( ñ ì èí óñà í à ï ë þ ñ) , ò î â ò î ÷êå õî ôóí êö èÿ ó =
/ (õ) èì ååò ë î êàë üí û é ì àêñèì óì (ì èí èì óì ) . Åñë è ï ðè ï åð åõî äå ÷åð åç ò î ÷êó õî
ï ðî èçâî äí àÿ ôóí êöèè í å ì åí ÿ åò çí àêà, ò î â ò î ÷êå õî ôóí êöèÿ ó = f (x ) í å èì ååò
ýêñò ð åì óì à.
