ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Ò å î ð å ì à 3 (âòî ðî å äî ñòàòî ÷í î å óñëî âèå ýêñòðåì óì à). Ï óñò ü â êðè-
ò è÷åñêî é ò î ÷êå õî ôóí êöèÿ ó = f (x ) èì ååò âò î ðóþ ï ðî èçâî äí óþ . Òî ãäà åñëè
f (õ~) ( 0 (/ " (õî ) ) 0), ò î ôóí êöèÿ ó = / (õ) èì ååò â ò î ÷êå õ~ ëî êàë üí û é ì àê-
ñèì óì (ì èí èì óì ) .
~ð. Í àï ð àâë åí è å âû ï óêëî ñòè è òî ÷êè ï åð åãè áà ãð àô è êà ô óí êö è è . Ï óñòü
ô óí êöèÿ ó = f (x) äèô ô åðåí öè ðóåì à í à èí òåðâàëå (à; 6) (ò.å. èì ååò â êàæäî é òî ÷-
êå ýòî ãî èí òåðâàëà êî í å÷í óþ ï ðî èçâî äí óþ ). Òî ãäà â êàæäî é òî ÷êå M (x , / (õ)),
õ Å (a; 6), ãðàô èê ô óí êöèè ó = f (x ) èì ååò êàñàòåëüí óþ , í å ï àðàëëåëüí óþ î ñè
0 Ó.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ãî âî ðÿò, ÷òî ãðàôèê ô óí êöèè èì ååò í à èí òåðâàëå (à; 6)
âû ï óêëî ñò ü, í àï ðàâëåí í óþ âí èç (ââåðõ), åñëè â ï ðåäåëàõ èí òåðâàëà (à; 6) ãðàôè ê
ëåæèò í å í èæå (í å âû ø å) ëþ áî é ñâî åé êàñàòåëüí î é (ðèñ.1,2).
Î áû ÷í î ãî âî ðÿ ò ï ðî ñòî "âû ï óêëî ñòü âí èç (ââåðõ) " .
0 ~ è-
Ðèñ.1. Âû ï óêëî ñòü âí èç 0 ~
Ðèñ.2. Âû ï óêëî ñòü ââåðõ
Ò å î ð å ì à 4. Åñëè í à èí ò åðâàë å (a; b) ñóù åñò âóåò âò î ðàÿ ï ðî èçâî äí àÿ
ôóí êöèè ó = f (x ) è åñëè ýò à ï ðî èçâî äí àÿ ï î ëî æ èò åë üí à (î ò ðèöàò åë üí à) âñþ -
äó í à ýò î ì èí ò åðâàë å, ò î ãðàôèê ôóí êöèè ó = f (x ) èì ååò í à èí ò åðâàë å (a; 6)
âû ï óêëî ñò ü, í àï ðàâëåí í óþ âí èç (ââåðõ) .
Î ï ð å ä å ë å í è å. Òî ÷êà Ì (ñ, f (c)) ãðàôèêà ô óí êöèè ó = f (x) í àçû âàåòñÿ
ò î ÷êî é ï åðåãèî à ýòî ãî ãðàô èêà, åñëè â ýòî é òî ÷êå ãðàôèê ô óí êöèè èì ååò êàñà-
òåëüí óþ , è ñóù åñòâóåò òàêàÿ î êðåñòí î ñòü òî ÷êè ñ, â ï ðåäåëàõ êî òî ðî é ñëåâà è
ñï ðàâà î ò òî ÷êè ñ ãðàôèê ôóí êöèè ó = f (x) èì ååò ðàçí û å í àï ðàâëåí èÿ âû ï ó-
êëî ñòè (ðè ñ.Ç). Ãî âî ðÿ ò òàêæå, ÷òî â òî ÷êå Ì (ñ, f (c)) ãðàôèê ôóí êöèè èì ååò
ï åð åãèï . ó
/ (ñ)
Ñ
Ðè ñ.Ç. Òî ÷êà Ì (ñ, f (c)) ÿâëÿåòñÿ òî ÷êî é ï åðåãè áà
Ò å î ð å ì à 3 (âòî ðî å ä î ñòàòî ÷í î å óñëî âè å ýêñòðåì óì à) . Ï óñò ü â êðè-
ò è÷åñêî é ò î ÷êå õî ôóí êöèÿ ó = f (x ) èì ååò âò î ðóþ ï ðî èçâî äí óþ . Òî ãäà åñë è
f (õ~) ( 0 (/ " (õî ) ) 0) , ò î ôóí êö èÿ ó = / (õ) èì ååò â ò î ÷êå õ~ ë î êàë üí û é ì àê-
ñèì óì (ì èí èì óì ) .
~ð. Í àï ð àâ ë åí è å âû ï óêë î ñòè è òî ÷ êè ï åð åãè áà ãð àô è êà ô óí êö è è . Ï óñòü
ô óí êöèÿ ó = f (x ) äè ô ô åðåí öè ðóåì à í à èí òåðâàëå (à; 6) (ò.å. èì ååò â êàæä î é òî ÷-
êå ýòî ãî èí òåðâàëà êî í å÷í ó þ ï ðî èçâî äí óþ ) . Òî ãäà â êàæäî é òî ÷êå M (x , / (õ) ) ,
õ Å (a; 6) , ãðàô èê ô óí êöèè ó = f (x ) èì ååò êàñàòåëüí óþ , í å ï àðàëëåëüí óþ î ñè
0 Ó.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ãî âî ðÿ ò, ÷òî ãðàô èê ô óí êöèè èì ååò í à èí òåðâàëå (à; 6)
âû ï óêë î ñò ü, í àï ðàâë åí í óþ âí èç ( ââåðõ) , åñëè â ï ðåä åëàõ èí òåðâàëà (à; 6) ãðàô è ê
ëåæè ò í å í èæå (í å âû ø å) ëþ áî é ñâî åé êàñàòåëüí î é ( ðè ñ.1,2).
Î áû ÷í î ãî âî ðÿ ò ï ðî ñòî " âû ï óêëî ñòü âí èç (ââåðõ) " .
0 ~Ðè ñ.1.
è- Âû ï óêëî ñòü âí èç 0 ~
Ðè ñ.2. Âû ï óêëî ñòü ââåðõ
Ò å î ð å ì à 4. Å ñë è í à èí ò åðâàë å (a; b) ñóù åñò âóåò âò î ðàÿ ï ð î èçâî äí àÿ
ôóí êö èè ó = f (x ) è åñë è ýò à ï ðî èçâî äí àÿ ï î ë î æ èò åë üí à ( î ò ðèöàò åë üí à) âñþ -
äó í à ýò î ì èí ò åðâàë å, ò î ãðàôèê ôóí êö èè ó = f (x ) èì ååò í à èí ò åðâàë å (a; 6)
âû ï óêë î ñò ü, í àï ðàâë åí í óþ âí èç (ââåðõ) .
Î ï ð å ä å ë å í è å. Òî ÷êà Ì (ñ, f (c) ) ãð àô èêà ô óí êöèè ó = f (x ) í àçû âàåòñÿ
ò î ÷êî é ï åðåãèî à ýòî ãî ãð àô èêà, åñëè â ýòî é òî ÷êå ãðàô èê ô óí êöèè èì ååò êàñà-
òåëüí ó þ , è ñóù åñòâóåò òàêàÿ î êðåñòí î ñòü òî ÷êè ñ, â ï ðåä åëàõ êî òî ðî é ñëåâà è
ñï ðàâà î ò òî ÷êè ñ ãð àô èê ô óí êöèè ó = f (x ) èì ååò ðàçí û å í àï ðàâëåí èÿ âû ï ó-
êëî ñòè (ðè ñ.Ç) . Ãî âî ðÿ ò òàêæå, ÷òî â òî ÷êå Ì (ñ, f (c)) ãðàô èê ô óí êöèè èì ååò
ï åð åãèï . ó
/ (ñ)
Ñ
Ðè ñ.Ç. Òî ÷êà Ì (ñ, f (c)) ÿâëÿ åòñÿ òî ÷êî é ï åðåãè áà
