Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 3 стр.

                                                 -3-
       1. Основные понятия. В математике понятие множества и элемента множества
считаются первичными, не определяемыми через другие понятия (воспринимаемыми интуи-
тивно). Тот факт, что объект x является элементом множества A , записывается, как
 x ∈ A . Знак ∈ называют знаком включения. Запись x ∉ A (или x ∈ A ) означает, что x
не является элементом множества A .
       Будем считать, что мы выбрали и зафиксировали достаточно широкое множество, за
пределы которого не будем выходить. Элементы всех множеств, которые мы будем рассмат-
ривать, одновременно являются элементами этого широкого фиксированного множества, на-
зываемого универсальным множеством (для этого множества будем применять обозначение
E ).
       Говорят, что множество A задано, если относительно любого элемента x ∈ E мож-
но сказать, принадлежит он или не принадлежит множеству A . Обычно множество задается
указанием характеристического свойства его элементов, т.е. такого свойства, которым обла-
дают все элементы данного множества и только они. Множество A элементов x , обладаю-
щих свойством P (x ) 2, символически записывают в виде A = {x : P ( x )} . Например, за-
пись A = {x : x = 2k , k = 1,2,...} означает, что множество A состоит из четных поло-
жительных чисел 2, 4, 6, 8, … .
       Множество A называют подмножеством другого множества B , если каждый эле-
мент множества A является одновременно элементом множества B . В этом случае пишут
 A ⊂ B или B ⊃ A . Знаки ⊂ и ⊃ также называют знаками включения.
       Пример. Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обозначения,
которых стоит придерживаться: N – множество натуральных чисел, Z – множество целых
чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных (веществен-
ных) чисел. Имеет место такое последовательное включение:          N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
        Множества A и B называются равными (пишут               A = B) , если A ⊂ B и B ⊂ A ,
т.е. если эти множества состоят из одних и тех же элементов. Множество, не содержащее ни
одного элемента, называется пустым и обозначается символом ∅ .
        Примерами пустых множеств являются: множество треугольников, длины сторон ко-
торых равны 2см, 3 см, 7 см; множество рациональных чисел, квадрат которых равен 2; мно-
жество решений системы уравнений x + y = 1 , x + y = 2.
        Принято считать, что пустое множество принадлежит в качестве подмножества лю-
бому множеству; очевидно, также A ⊂ A . A и ∅ называют несобственными подмноже-
ствами множества A , все остальные подмножества множества A называют собственными.
        Для рассуждений о множествах полезно привлечь наглядные схемы, называемые диа-
граммами Эйлера (или Эйлера-Венна).
        Объединением (иногда говорят – суммой) множеств A и B называют множество, со-
стоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B :
 A ∪ B = {x : x ∈ A или x ∈ B} . В теории вероятностей используют обозначение
A+ B.




2
 Здесь P(x) – (одноместный) предикат, а именно, связное повествовательное предложение, содержащее пере-
менную и обладающее свойством превращаться в высказывание (т.е. принимать значение истинности во мно-
жестве {0;1}) при подстановке вместо переменной любого конкретного значения.