Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 5 стр.

                                              -5-

         Пример 5. {0,1,3,5} ∩ {1,2,3,4} = {1,3}.
       Пример 6. Пусть A – множество всех прямоугольников, B – множество всех ромбов.
Что собой представляет множество A ∩ B ? (Ответ. Множество всех квадратов).
       Пример 7. Будем себе представлять каждый прямоугольник как множество, а именно
– как множество всех точек, принадлежащих его контуру или лежащих внутри него. Какую
фигуру образует пересечение всех прямоугольников, вписанных в данную окружность? (От-
вет. Центр круга).
       Разностью множеств A и B называют множество тех элементов из A , которые не
содержатся в B : A \ B = { x : x ∈ A и x ∉ B}.
         Разность   E \ A , где E   – универсальное множество, называется дополнением мно-
жества    A и обозначается символом A .
        2. Формула включений и исключений. Для конечного множества A через n( A)
обозначим число его элементов. Число элементов пустого множества, очевидно, равно нулю.
Для любых конечных множеств A и B справедливо равенство
                               n( A U B) = n( A) + n( B) − n( A I B) ,                        (1)
называемое формулой включений и исключений.
        Действительно, пусть множества A и B не пересекаются, т.е. n( A I B) = 0 . Их объе-
динение получается добавлением к элементам одного множества всех элементов другого
множества, поэтому n( A U B ) = n( A) + n( B) . Если же пересечение множеств A и B не пусто,
то число их общих элементов равно n( A I B) . Объединение этих множеств образуется до-
бавлением к элементам множества A всех тех элементов множества B , которые не входят в
 A . Число таких элементов равно n( B) − n( A I B) . Таким образом, формула (1) доказана.
        Пример. Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти полу-
чили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили
оценки 3 и 4?
        ∆ Пусть A – множество абитуриентов, выдержавших экзамен, B – множество абиту-
риентов, получивших оценки ниже пяти. По условию n( A) = 210 , n( B) = 180 , n( A U B) = 250 .
Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество A I B . По формуле (1) нахо-
дим
                          n( A I B) = n( A) + n( B) − n( A U B) = 140 . ▲
        Пример. В научно-исследовательском институте работают 67 человек. Из них 47 зна-
ют английский язык, 35 – немецкий и 23 – оба языка. Сколько человек в институте не знают
ни английского, ни немецкого языков?
        ∆ Имеем: n( A) = 47 , n( B) = 35 , n( A ∩ B) = 23 ⇒ n( A ∪ B ) = 47 + 35 − 23 = 59 – число
знающих хотя бы один язык; n( A ∪ B) = 67 − 59 = 8 – не знают оба языка. Отв. 8 человек. ▲
         3. Декартово произведение. Пусть    X   и   Y   – произвольные множества. Пару   ( x, y )
элементов  x ∈ X , y ∈ Y , взятых в указанном порядке, будем называть упорядоченной па-
рой, считая при этом, что ( x1 , y1 ) = ( x2 , y2 ) тогда и только тогда, когда
x1 = x2 , y1 = y2 . Декартовым произведением X × Y двух множеств X и Y называется
множество всех упорядоченных пар ( x, y ) :
                           X × Y = {( x, y ) : x ∈ X , y ∈ Y } .
Пусть, например, R – множество всех вещественных чисел. Тогда декартов квадрат
R 2 = R × R есть просто множество всех декартовых координат точек плоскости относи-
тельно заданных координатных осей. Аналогичным образом можно было бы ввести декарто-