Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 6 стр.

                                               -6-

во произведение   X1 × X 2 × X 3    трех множеств, четырех и т.д. При           X 1 = ... = X n = X
пишут сокращенно    Xn    вместо   1×...
                                   X42×  4
                                         3X      и говорят об   n -й декартовой степени множе-
                                      n раз
                          n
ства   X . Элементами X       являются упорядоченные наборы        ( x1 ,..., xn ) .
       ОТОБРАЖЕНИЯ (ФУНКЦИИ). РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА
        1. Общие понятия. Мы говорим, что задано отображение                    f      множества       X    во
множество    Y , и пишем f : X → Y , если каждому элементу x из области определения
 X сопоставлен однозначно определенный элемент y = f (x) из области действия Y , на-
зываемый образом элемента x при отображении f (такое сопоставление символически
принято обозначать так: x a f (x ) ). При этом не исключается возможность, что одному
элементу y ∈ Y отвечает при отображении f несколько элементов xi ∈ X , таких, что
 f ( xi ) = y . Подмножество {xi } ⊂ X всех таких элементов называется прообразом эле-
мента       y ∈Y     при     отображении          f       и    обозначается             f −1 ( y ) ,       т.е.

f −1 ( y ) = {x ∈ X : f ( x) = y} .
     Вместо термина «отображение» часто употребляют термин «оператор» (особенно в
функциональном анализе и линейной алгебре), а также «функция» (особенно в случае, когда
Y – числовое множество). Отображение f : X → X называют также преобразованием
множества X (в себя).
     Графиком функции           f : X →Y       называется множество пар вида                  ( x, f ( x)) ,
x∈ X .
        2. Композиция функций (сложная функций). Пусть                  f : X → Y , g :Y → Z .
Композицией (или суперпозицией) функций           f   и   g   называется функция, обозначаемая
go f :X →Z        и определяемая следующим равенством:
                                                def
                                   ( g o f )( x) = g ( f ( x)) .
Правая часть этого равенства показывает, что значение композиции в точке x вычисляется в
результате последовательного действия сначала f , а затем (на полученный результат)
функции g .
        Пример. Пусть    f :R→ R       и   f ( x) = sin x , g : R → R           и   g ( x) = x 2 .     Тогда

( g o f )( x) = sin 2 x , ( f o g )( x) = sin ( x 2 ) . Попутно мы доказали, что во множестве
функций, на которых определены и f o g и g o f , композиция не является коммутатив-
ной операцией.
      3. Типы отображений.
      Определение. Отображение        f : X → Y называется сюръективным (или отображе-
нием «на»), если каждый        элемент из Y имеет, по крайней мере, один прообраз, т.е.
 f (X ) = Y .