Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 8 стр.

                                          -8-
                                                 def
4)   sin : [− π 2 ; π 2] → [−1;1] обратим, sin −1 = arcsin .
         Упражнение. Пусть g : X → Y и f : Y → Z – биективные отображения. Докажи-
                                                               −1     −1    −1
те, что тогда биективна и их композиция f o g , причем ( f o g ) = g o f .
        5. Мощность множеств. Пусть X и Y – два произвольных множества. Естественно
поставить вопрос о сравнении множеств по числу элементов.
        Если множества X и Y конечны, то поставленная задача может быть решена двумя
способами.
      1. Пересчитаем число элементов в каждом из множеств и сравним результаты. Это по-
        зволит установить равенство числа элементов в множествах или указать, в каком из
        множеств элементов больше. Однако можно поступить иначе.
      2. Каждому элементу x ∈ X поставим в соответствие один и только один элемент
         y ∈Y .
        Если при этом оказывается, что каждый элемент y ∈ Y ставится в соответствие одно-
му и только одному элементу x ∈ X , то говорят, что между элементами множеств X и Y
установлено взаимно-однозначное соответствие (биективное отображение). Очевидно, что
для конечных множеств взаимно-однозначное соответствие можно установить только тогда,
когда число элементов в этих множествах одинаково.
        Очевидно, что, в то время как первый способ (подсчет числа элементов) возможен
лишь для сравнения конечных множеств, второй способ (установление взаимно-
однозначного соответствия) в одинаковой мере применим как для конечных, так и для бес-
конечных множеств.
        Говорят, что множества X и Y равномощны или имеют одинаковую мощность, если
существует биективное отображение (взаимно-однозначное соответствие) X → Y . Отсюда
следует, что если два конечных множества равномощны, то они равночисленны. Таким обра-
зом, понятие равномощности множеств есть обобщение понятия равночисленности на слу-
чай бесконечных множеств.
        Пусть в множестве X имеется собственное подмножество, равномощное Y , но в Y
нет собственного подмножества, равномощного X . Тогда говорят, что мощность множест-
ва X больше мощности Y .
        Для конечного множества его мощность есть число элементов этого множества.
Мощность любого бесконечного множества больше мощности любого конечного.
        Среди бесконечных множеств наименьшей мощностью обладает множество N всех
натуральных чисел. Множества той же мощности, что и N , называются счетными. Множе-
ство X называется не более чем счетным (дискретным), если оно конечно (в частности,
пусто) или счетно. Множества, имеющие одинаковую мощность с множеством R всех дей-
ствительных чисел, называют множествами мощности континуум.
        Пример. Сопоставим каждому числу n число 2n . Тогда получим вложение множе-
ства всех натуральных чисел во множество всех натуральных четных чисел. Таким образом,
множество всех натуральных чисел равномощно с множеством всех четных (натуральных)
чисел.
        Как показал приведенный пример, вполне может оказаться, что множество равно-
мощно со своим собственным подмножеством. На самом деле это характеристическое свой-
ство всех бесконечных множеств, т.е. свойство, которое может служить определением таких
множеств. Ничего подобного нельзя встретить, рассматривая конечные множества.
        Мощность множества X называется кардинальным числом этого множества (и обо-
значается card X или | X | ). Если X – конечное множество, содержащее n элементов, то
card X = n .