Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 10 стр.

                                                 - 10 -
       В дальнейшем совершенствование аксиоматического изложения геометрии шло в ос-
новном по пути выявления утверждений, которые использовались Евклидом в доказатель-
ствах, но не были сформулированы им явно в виде аксиом. Полностью эта работа была за-
вершена лишь в XIX веке немецкими математиками Пашем и Гильбертом.
       Вместе с тем, много усилий было потрачено на попытки исключить из числа основ-
ных допущений V постулат Евклида, который казался слишком сложным, чтобы его можно
было причислить к «самоочевидным истинам». Хотя все попытки доказать V постулат на
основе отдельных аксиом оказались неудачными, они все же привели к некоторым положи-
тельным результатам. А именно, благодаря им был обнаружен ряд геометрических утвер-
ждений, эквивалентных V постулату, в частности, следующее: «Через каждую точку, не
лежащую на прямой l , проходит в точности одна прямая, параллельная l ».
       К началу XIX века начало возникать подозрение о недоказуемости V постулата Евк-
лида. Это подозрение перешло почти в полную уверенность, когда в 1826 году Лобачевский
построил геометрическую теорию, основанную на системе постулатов, в которой V посту-
лат Евклида заменен утверждением, несовместимым с ним: «Если на плоскости точка A
не лежит на прямой l , то существует более чем одна прямая, проходящая через A и па-
раллельная l ». Хотя «истинность» такой аксиомы кажется сомнительной, при выводе след-
ствий из нее Лобачевский не встретил каких-либо противоречий. Это, однако, не означало,
что противоречия здесь вообще невозможны.
       Следующим событием на пути укрепления позиций неевклидовой геометрии явилось
построение различных моделей геометрии Лобачевского средствами геометрии Евклида. Ти-
пичным примером такого рода моделей может служить модель, предложенная немецким
математиком Феликсом Клейном в 1871 г. В этой модели основные геометрические поня-
тия: плоскость, точка и прямая – интерпретируются соответственно как внутренность
какого-нибудь круга в евклидовой плоскости, точка внутри этого круга и хорда этого круга,
рассматриваемая без своих концов. В такой интерпретации оказываются истинными все
аксиомы геометрии Лобачевского; правда, при этом расстояния и углы измеряются не так,
как на обычной евклидовой плоскости, а по правилам, разработанным для проективной гео-
метрии. Подробное описание интерпретации Клейна и других моделей геометрии Лобачев-
ского можно найти в учебных пособиях по высшей геометрии3. Наличие таких моделей пока-
зывает, что геометрия Лобачевского столь же непротиворечива, как и геометрия Евклида.
       Построение моделей геометрии Лобачевского имело принципиальное значение для
развития аксиоматического метода, поскольку оно привело к осознанию возможности рас-
сматривать аксиоматическую теорию чисто формально, т.е. не предполагая заранее ка-
кое-либо определенное значение основных понятий. Более того, мы вольны выбирать значе-
ния этих понятий каким угодно образом, лишь бы при этом оказывались истинными дан-
ные аксиомы.
       В XIX в. аксиоматический метод получил широкое распространение в математике.
Итальянский математик Дж. Пеано (1891 г.) предложил аксиоматику для натурального
ряда. Были построены аксиоматические теории для действительных чисел. Наконец, была
выработана система аксиом для теории множеств. Особенно широкое распространение
формальные аксиоматики получили в современной алгебре, где система аксиом по сущест-
ву выступает в роли определения той или иной алгебраической структуры.
       Вторая попытка (представить в одном труде всю математику) состоялась только в
XIXв. , во Франции, когда некто Никола Бурбаки приступил к изданию многотомного трак-
тата «Элементы математики». На самом деле математика Никола Бурбаки не существовало.
Это коллективный псевдоним группы ученых. Вот какой фразой открывает Бурбаки свой
труд: «Со времен греков говорить математика – значит, говорить доказательство». Таким
образом, слова «математика» и «доказательство» – почти синонимы.
       Доказательства встречаются и в других сферах человеческой деятельности, например,
в юриспруденции. Однако математические доказательства убедительнее тех, которые можно
услышать в суде. Математические доказательства признаются эталоном бесспорности.
       Что же такое доказательство в математике? Доказательство – рассуждение, которое
убеждает нас настолько, что мы готовы убеждать других, используя то же рассуждение. Но
несмотря на то, что доказательства постоянно используются в математике, четкого опреде-
ления понятия «доказательства» нет. Это можно объяснить следующим образом. Во-первых,

3
    См., например, Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.