Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 11 стр.

                                                   - 11 -
даже в математике нереально определить все. Одни понятия определяются через другие, эти
другие – через третьи, третьи – через четвертые.…И так до бесконечности? Нет, где-то при-
ходиться остановиться. В математике существуют неопределяемые понятия (например, по-
нятие множества), которые составляют основу аксиоматического метода. Во-вторых, доказа-
тельство не есть математическое понятие, подобное, например, понятию «действительное
число» или «многоугольник». По отношению к математике оно не внутреннее, а внешнее и
принадлежит психологии, а отчасти – лингвистике. Однако без него нельзя представить себе
математику.
       Можно ли предложить классификацию доказательств, т.е. убедительных рассужде-
ний? Вряд ли. Тем более что доказательство, как правило, состоит из нескольких, иногда
многих этапов, и на каждом из них применяется свой способ убеждения. И все же несколько
основных, часто повторяющихся схем доказательств выделить удается.
       2. Убедительность доказательства. Выдающийся французский математик Анри Пу-
анкаре писал в 1908 г.: «Если мы читаем книгу, написанную пятьдесят лет назад, то рассуж-
дения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишенными логической
строгости».
       Понимание того, что является, а что не является доказательством, меняется со време-
нем. Если вдуматься, ничего удивительного в этом нет. Убедительность довода исторически
обусловлена. Для средневековых судов, например, доказательства виновности или невинов-
ности были очень своеобразны, с нашей точки зрения: если человек мог удержать в руке рас-
каленное железо, то он признавался невиновным; если брошенная в воду связанная женщина
не тонула, ее объявляли ведьмой. Убедительность математического доказательства имеет те
же психологические основы, что и доказательства юридического, а потому так же зависит от
исторических обстоятельств.
       В средневековой Индии, например, геометрические утверждения доказывали так:
предлагали чертеж, под которым стояло всего одно слово «Смотри!». В древних египетских
текстах встречаются вычисления простейших площадей, операции с аликвотными дробями4.
Расчеты приводятся без какого бы то ни было обоснования. По-видимому, в то время не су-
ществовало психологической необходимости в подобном обосновании – способы решения
исходили от авторитетного лица, например жреца, и записывались. Большего и не требова-
лось. (Не так ли и мы сейчас относимся к медицинским рецептам?) Первые доказательства в
их современном понимании приписывают древнегреческим мыслителям Фалесу и Пифагору.
Считается, что именно в Древней Греции в VII–VI вв. до н.э. возник новый обычай: сопро-
вождать математический факт его обоснованием. Очевидно, появилась потребность не про-
сто сообщать данный факт, но и доказывать его истинность, т.е. убеждать слушателя.
       Древнегреческие доказательства были почти безупречны. Положение вещей начало
меняться с XVII в., когда в математику пришли переменные величины, и стало складываться
представление о предельном переходе. Более чем сто лет спустя эти представления о пере-
менной и пределе еще не выглядят достаточно четкими, а потому и доказательства того вре-
мени кажутся нестрогими. Замечательно, однако, что столь нестрогие доказательства приво-
дили к строгим результатам, прочно вошедшим в арсенал математики. В 20-е гг. XIX в. поя-
вились работы французского математика Огюстена Коши (1789–1857). В его трудах понятие
предела и опирающиеся на него понятия впервые начали приобретать современную логиче-
скую форму. Инициатива Коши была развита затем многими математиками, прежде всего,
уже во второй половине XIX в., немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Но новые
представления о необходимом уровне строгости входили в математику в течение долгого
времени.



4
    Египтяне использовали дроби вида 1 n , где n – натуральное число. Такие дроби называются аликвотными.
Единственная неаликвотная дробь, которую «признавали» египетские математики, – это 2 3 .