Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 13 стр.

                                            - 13 -
Очевидно, что N не делится ни на одно из использованных здесь простых чисел 2, 3, 5,..., p
(при таком делении в остатке всегда будет получаться 1). Значит, возможны только два вари-
анта: либо само N будет простым числом, и притом значительно превышающим p , либо N
будет разлагаться на простые множители, заведомо отличные от чисел 2, 3, 5,..., p , т.е. боль-
шие чем p . И в том, и в другом случае должны существовать простые числа, большие p ,
следовательно, обе возможности противоречат исходному предположению о конечности на-
бора простых чисел. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение
было неверным, значит, простых чисел бесконечно много.
       Это доказательство принадлежит Евклиду и приведено в его «Началах». Неизвестно,
что должно нас больше всего удивлять в этом тексте Евклида: то ли, что греческие мате-
матики вообще могли поставить подобный вопрос ради него самого, из внутреннего влече-
ния к математическому мышлению, т.е. по мотивам, не свойственным ни одному из более
древних народов и переданным в наследство позднейшим культурам лишь греческой тради-
цией; или то, что они поставили именно э т о т вопрос, столь легко ускользающий от наив-
ного наблюдателя, кажущийся ему праздным и тривиальным, вопрос, вся трудность и глу-
бина которого раскрываются лишь тому, кто безуспешно пытался отыскать простой за-
кон для ряда простых чисел, закон, позволяющий неограниченно продолжать этот ряд. По-
жалуй, самым удивительным здесь нужно считать то, что греки сумели обойти отсутст-
вие подобной закономерности тем искусным приемом доказательства, с которым мы
только что познакомились.
                                Доказательство существования
       В математике большое значение имеют так называемые доказательства существова-
ния. Самый простой способ доказать существование объекта с заданными свойствами – это
указать его и, разумеется, убедиться, что он действительно обладает нужными свойствами.
Например, чтобы доказать, что уравнение имеет решение, достаточно привести какое-то его
решение. Доказательства существования такого рода называются прямыми или конструк-
тивными.
       Но бывают и косвенные доказательства существования, когда обоснование факта, что
искомый объект существует, происходит без прямого указания на сам объект. Рассмотрим
примеры.
       Пример 4. В самолете летят 380 пассажиров. Докажем, что по крайней мере двое из
них родились в один и тот же день года.
       Решение. Всего в году 365 или 366 дней, а пассажиров в самолете 380 – значит, их дни
рождения не могут приходиться только на различные даты. Вообще, если пассажиров боль-
ше, чем 366, то хотя бы у двоих дни рождения совпадают. А вот если пассажиров 366, не ис-
ключено, что все они родились в разные дни года, но это маловероятно. (Согласно теории
вероятностей, в случайно выбранной группе численностью свыше 22 человек совпадение
дней рождения у некоторых из них более вероятно, нежели то, что у всех дни рождения при-
ходятся на разные дни года.)
       Логический прием, использованный в приведенном доказательстве, называется прин-
ципом Дирихле – по имени немецкого математика, автора описанного метода. Вот общая
формулировка принципа Дирихле.
       Пусть в n ящиков помещены k предметов. Если количество предметов больше ко-
личества ящиков ( k > n ), то существует хотя бы один ящик, в котором находятся не менее
двух предметов.
       В шутливой форме принцип Дирихле часто формулируют так: Пусть в n клетках си-
дит не меньше, чем n + 1 кроликов; тогда найдется клетка, в которой сидит не меньше
двух кроликов.
       Рассмотрим еще примеры на применение этого принципа.
       Пример 5. Плоскость раскрашена двумя цветами. Доказать, что существуют две точки
одинакового цвета, расположенные на расстоянии 1 м.
       Решение. Рассмотрим на указанной плоскости равносторонний треугольник со сторо-
ной 1 м. Вершины треугольника будут «кроликами», а цвета – «клетками». Так как число