Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 14 стр.

                                                     - 14 -
«кроликов» больше числа «клеток», то найдется «клетка», в которой сидят не менее двух
«кроликов». Отсюда следует, что существуют две вершины одного цвета. Поскольку тре-
угольник равносторонний, расстояние между вершинами составляет 1 м.
       Пример 6. Доказать, что среди шести любых натуральных чисел найдутся два числа,
разность которых делится на 5.
       Решение. Рассмотрим 5 «клеток», пронумерованных цифрами 0, 1, 2, 3, 4 , представ-
ляющими собой остатки от деления на 5. Распределим в эти «клетки» шесть «кроликов», т.е.
шесть заданных натуральных чисел в соответствии с остатком от деления на пять. А именно,
в одну «клетку» помещаем числа, имеющие одинаковые остатки от деления на 5. Поскольку
«кроликов» (чисел) больше, чем «клеток», то согласно принципу Дирихле существует «клет-
ка», содержащая не менее двух «кроликов». Значит, существуют (по крайней мере) два числа
с одинаковым остатком от деления на 5. Тогда разность этих чисел делится на 5.
                                      Метод математической индукции
       В основе всякого математического рассуждения лежат дедуктивный или индуктивный
методы. Дедукция – это умозаключение от общего к частному, например, такое: известно,
что если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3; так, по-
скольку у числа 678 сумма цифр, равная 21, делится на 3, то и само число 678 делится на 3.
Индукция – это умозаключение от частного к общего, когда общие выводы получают, опира-
ясь на ряд частных утверждений.
       Различают полную и неполную индукцию. Полная индукция состоит в том, что общее
утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев.
       Неполная индукция заключается в том, что общий вывод делается на основе не всех, а
достаточно большого числа частных случаев. Результат, полученный неполной индукцией,
остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан строгим математическим рассуждени-
ем, охватывающим все частные случаи.
       Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие инте-
ресные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а
провести проверку для бесконечного числа частных случаев человек не может (примером та-
кого утверждения может служить любое утверждение, относящееся ко всем натуральным
числам). Неполная индукция часто приводит к ошибочным результатам.
Пример 7. Рассмотрим трехчлен x + x + 41 , на который обратил внимание еще Л. Эйлер.
                                   2

Подставим в этот трехчлен вместо x нуль, получим п р о с т о е число 41. Подставим те-
перь в этот же трехчлен вместо x единицу, получим опять простое число 43. Продолжая
подставлять в трехчлен вместо x последовательно 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, получаем всякий
раз простое число 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. На основании полученных результа-
тов утверждаем, что при подстановке в трехчлен вместо x любого целого неотрицатель-
ного числа в с е г д а в результате получается п р о с т о е число. Однако, при более внима-
тельном изучении трехчлена          x 2 + x + 41 обнаруживается, что он равен простому числу при
x = 0, 1, 2,..., 39 , но при x = 40 этот трехчлен равен 412 , т.е. числу составному6.
Пример 8. Знаменитый немецкий математик ХVII в., один из создателей (наряду с И. Нью-
тоном) дифференциального и интегрального исчисления, Г. В. Л е й б н и ц доказал, что при
всяком целом положительном n число     n 3 − n делится на 3, число n 5 − n делится на 5, число
n 7 − n делится на 7. На основании этого он предположил было, что при всяком нечетном k
и любом натуральном n число n − n делится на k , но скоро сам заметил, что 2 − 2 = 510
                                 k                                                 9

не делится на 9.
      Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к
особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции.
      Наверное, каждому приходилось выстраивать в ряд костяшки домино. Толкнешь пер-
вую – она повалит вторую, та – третью и так до тех пор, пока не упадут все. Заменим ряд до-


6
    И уж совсем сразу бросается в глаза, что при x = 41 многочлен   x 2 + x + 41 = 412 + 41 + 41 делится на 41 .