Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 12 стр.

                                                    - 12 -
                                              Софизмы
       В Древней Греции развитие искусства ведения дискуссий нередко приводило к изо-
бретению хитроумных «доказательств» неверных утверждений. Такие «доказательства» на-
зываются софизмами, поскольку их часто использовали софисты – учителя философии и
красноречия в Древней Элладе. Анализ различных софизмов в конечном итоге способствовал
развитию логики. В частности, одна из книг древнегреческого философа Аристотеля (IV в. до
н.э.) так и называется «О софистических опровержениях». Вот несколько примеров софиз-
мов:
       «Если равны половины, то равны и целые. Полупустой стакан равен полуполному;
следовательно, пустой стакан равен полному».
       «Это твой щенок? – Да, он сын моей собаки. – Значит, он твой, и он сын, то есть он
твой сын».
       «Все, что ты не потерял, ты имеешь. Ты не потерял рогов. Следовательно, ты их
имеешь».
       Многие софизмы основаны на подмене значений понятий. Например, в последнем со-
физме сначала рассматриваются предметы, принадлежащие данному человеку, а затем –
все предметы вообще. На эту тему есть любопытный анекдот:
       У ч и т е л ь: Надеюсь, Иванов, что я не увижу, как ты списываешь.
       И в а н о в: Я тоже на это надеюсь.
          3. Методы доказательств.
                                     Доказательство методом перебора
       Пример 1. Требуется доказать, что среди целых неотрицательных чисел, меньших 420,
нет корней уравнения
                                 ( x + 1997)( x − 420)( x + 29)( x − 548) = 0 .
       Подставляя одно за другим числа 0, 1, 2, …, 418, 419 в уравнение, убеждаемся, что ни
одно из них не обращает в нуль его левую часть. Это доказательство методом перебора.
       Можно поступить иначе. Вспомним: если произведение равно нулю, то непременно
равен нулю хотя бы один из сомножителей. А потому корнями нашего уравнения являются
числа − 1997 , 420 , − 29 , 548 . Других корней данное уравнение не имеет, а поэтому утвер-
ждение задачи доказано.
       Конечно, второе доказательство короче. Однако с логической точки зрения и первое
доказательство абсолютно убедительно, а следовательно, безупречно. Пусть оно длиннее, но
зато проще: не нужно использовать указанное выше свойство произведения, которое к тому
же кто-то мог и забыть.
                                  Доказательство методом от противного
       Пример 2. Требуется доказать, что среди трехзначных чисел нет числа, которое можно
разделить на 7, 11 и 13. Школьник младших классов, знакомый лишь с делением, способен
справиться с задачей, перебрав и испробовав все 900 трехзначных чисел. Но старшеклассник
знает, что 7, 11 и 13 – простые числа и что число, делящееся на каждое из них, делится и на
их произведение, т.е. на 1001. А это для трехзначного числа невозможно. Таким образом,
старшеклассник может воспользоваться доказательством методом от противного.
       Доказательство методом от противного заключается в следующем. Предполагают, что
верно утверждение B , «противное», т.е. противоположное, тому утверждению A , которое
требуется доказать. Далее, опираясь на это B , приходят к противоречию и тогда заключают,
что если B неверно, то верно A . Рассмотрим более содержательный пример на применение
этого метода.
       Пример 3. Доказать, что простых чисел5 бесконечно много.
       Решение. Предположим противное, т.е. пусть различных простых чисел – конечное
число. Обозначим самое большое из них через p . Образуем теперь из всех простых чисел от
2 до p число
                                      2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ ... ⋅ p + 1 = N .



5
    Простые числа – это натуральные числа кроме единицы, которые делятся только на единицу и на само себя.