ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
- 15 -
миношек бесконечным рядом утверждений: ,...,,
321
УУУ , занумерованных натуральными
числами. Пусть мы умеем доказывать, что:
I
: первое утверждение ряда истинно;
II
: из истинности любого данного утверждения ряда вытекает истинность следующе-
го за ним утверждения.
Тогда нами доказаны все утверждения ряда. В самом деле, мы умеем «толкать первую
доминошку» – доказывать первое утверждение, а п.
II
означает, что «каждая доминошка, па-
дая, валит следующую». Какую бы «доминошку»-утверждение мы ни взяли, волна «паде-
ний»-доказательств, раз начавшись, рано или поздно дойдет до нее, т.е. утверждение будет
доказано.
Общая формулировка
принципа математической индукции выглядит так:
Если предложение )(nA , зависящее от натурального числа
n
, истинно для
1=n
и из того,
что оно истинно для какого-либо произвольного натурального
kn
=
следует, что оно ис-
тинно и для следующего числа
1+= kn
(кратко это записывают так:
)1()( +⇒ kAkA
), то
предложение
)(nA
истинно для любого натурального числа n .
Принцип математической индукции обычно принимают в качестве одной из аксиом,
определяющих натуральный ряд.
Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называется дока-
зательством методом математической индукции. Доказательство с помощью этого метода
проводится следующим образом.
1)
Доказываемое утверждение проверяют для
1
=
n
. Эта часть доказательства называется
базисом индукции.
2)
Доказывают справедливость утверждения для
1
+
=
kn
в предположении справедли-
вости утверждения для
kn
=
, т.е. доказывают, что
)1()(
+
⇒ kAkA
. Эта часть доказа-
тельства называется индукционным шагом.
Пример 9
. Доказать, что
2
)1(
...321
+
=++++
nn
n
(1)
для любого натурального
n
.
Решение
. Для доказательства установим два факта. Во-первых, для
1=n
утверждение
(1) верно. Действительно,
2
)11(1
1
+
⋅
=
.
Во-вторых, предположим, что утверждение (1) верно для
kn
=
, и убедимся, что тогда
оно верно и для
1
+
=
kn :
2
)2)(1(
)1(
2
)1(
)1()...321()1(...321
++
=++
+
=++++++=+++++
kk
k
kk
kkk
.
Значит, в силу принципа математической индукции утверждение (1) верно для любого
N∈n
.
Пример 10
. Доказать, что
2
)12(...531 nn =−++++
(2)
или, иначе,
2
nS
n
= , где ).12(...531
−
+
+
+
+
=
nS
n
Решение
. 1) Имеем
2
1
11 ==S . Следовательно, утверждение верно при
1=n
, т.е. )1(A
истинно.
2) Докажем, что
)1()( +⇒ kAkA
. Пусть
k
– любое натуральное число и пусть форму-
ла (2) верна при
kn
=
, т.е.
2
kS
k
=
. Докажем, что тогда утверждение справедливо и для сле-
дующего натурального числа
1+
=
kn , т.е. что
2
1
)1( +=
+
kS
k
. Действительно,
- 15 -
миношек бесконечным рядом утверждений: У1 , У 2 , У 3 ,... , занумерованных натуральными
числами. Пусть мы умеем доказывать, что:
I: первое утверждение ряда истинно;
II: из истинности любого данного утверждения ряда вытекает истинность следующе-
го за ним утверждения.
Тогда нами доказаны все утверждения ряда. В самом деле, мы умеем «толкать первую
доминошку» – доказывать первое утверждение, а п. II означает, что «каждая доминошка, па-
дая, валит следующую». Какую бы «доминошку»-утверждение мы ни взяли, волна «паде-
ний»-доказательств, раз начавшись, рано или поздно дойдет до нее, т.е. утверждение будет
доказано.
Общая формулировка принципа математической индукции выглядит так:
Если предложение A(n) , зависящее от натурального числа n , истинно для n = 1 и из того,
что оно истинно для какого-либо произвольного натурального n = k следует, что оно ис-
тинно и для следующего числа n = k + 1 (кратко это записывают так: A(k ) ⇒ A(k + 1) ), то
предложение A(n) истинно для любого натурального числа n .
Принцип математической индукции обычно принимают в качестве одной из аксиом,
определяющих натуральный ряд.
Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называется дока-
зательством методом математической индукции. Доказательство с помощью этого метода
проводится следующим образом.
1) Доказываемое утверждение проверяют для n = 1 . Эта часть доказательства называется
базисом индукции.
2) Доказывают справедливость утверждения для n = k + 1 в предположении справедли-
вости утверждения для n = k , т.е. доказывают, что A(k ) ⇒ A(k + 1) . Эта часть доказа-
тельства называется индукционным шагом.
Пример 9. Доказать, что
n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n = (1)
2
для любого натурального n .
Решение. Для доказательства установим два факта. Во-первых, для n = 1 утверждение
(1) верно. Действительно,
1 ⋅ (1 + 1)
1= .
2
Во-вторых, предположим, что утверждение (1) верно для n = k , и убедимся, что тогда
оно верно и для n = k + 1 :
k (k + 1) (k + 1)(k + 2)
1 + 2 + 3 + ... + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + k ) + (k + 1) = + (k + 1) = .
2 2
Значит, в силу принципа математической индукции утверждение (1) верно для любого
n ∈N .
Пример 10. Доказать, что
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n 2 (2)
или, иначе,
S n = n 2 , где S n = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1).
Решение. 1) Имеем S1 = 1 = 12 . Следовательно, утверждение верно при n = 1 , т.е. A(1)
истинно.
2) Докажем, что A(k ) ⇒ A(k + 1) . Пусть k – любое натуральное число и пусть форму-
ла (2) верна при n = k , т.е. S k = k 2 . Докажем, что тогда утверждение справедливо и для сле-
дующего натурального числа n = k + 1 , т.е. что S k +1 = (k + 1) 2 . Действительно,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
