Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 17 стр.

                                          - 17 -
       В логике высказываний интересуются не содержанием, а истинностью (ложностью)
высказываний. Если высказывание истинное, то ему предписывается (сопоставляется) значе-
ние «истина» (другие обозначения: «И» или «1»). Ложному высказыванию предписывается
значение «ложь» (другие обозначения: «Л» или «0»). Эти значения называют значениями ис-
тинности высказываний.
       2. Операции над высказываниями. Различают два вида высказываний: простые и
составные (сложные). Под простым будем понимать высказывание, которое не может быть
разбито на более простые высказывания. Про него всегда можно однозначно сказать, истин-
но оно или ложно, не интересуясь его структурой. Из простых высказываний при помощи
так называемых логических операций можно строить сложные высказывания. При этом зна-
чение истинности сложного высказывания зависит исключительно от значений истинности
составляющих его простых высказываний. Изучение такого рода зависимостей является ос-
новной задачей алгебры высказываний как раздела математической логики.
       Перейдем к точному описанию логических операций. В дальнейшем будем обозна-
чать высказывания заглавными буквами латинского алфавита: A , B , C и т.д.
       Определение 1. Отрицанием высказывания A называется новое высказывание, обо-
значаемое A (читается: «не A » или «неверно, что A »). Высказывание A считается истин-
ным, если высказывание A ложно, и ложным, если A истинно. (Другое обозначение отри-
цания высказывания A , которое встречается в литературе, – это ¬ A .)
       Логические операции удобно задавать в виде таблиц, называемых таблицами истин-
ности. Для операции отрицания таблица истинности имеет вид:
                                         A     A
                                        И      Л
                                         Л     И
       Отрицание – одноместная (или унарная) операция. Последующие операции – двуме-
стные (или бинарные).
       Определение 2. Конъюнкцией высказываний A и B называется новое высказывание,
обозначаемое A ∧ B (читается: « A и B »), которое считается истинным, если истинны оба
высказывания A и B , и ложным во всех остальных случаях. (Другое обозначение для конъ-
юнкции: A & B .)
      Определение конъюнкции вполне отвечает тому смыслу, который придается в рас-
суждениях союзу «и». Действительная, привычная логика рассуждений требует, чтобы ут-
верждение « A и B » было истинно лишь в одном случае: когда истинны оба утверждения A
и B.
      Определение 3. Дизъюнкцией высказываний A и B называется новое высказывание,
обозначаемое A ∨ B (читается: « A или B »), которое истинно в тех случаях, когда истинно
хотя бы одно из высказываний A или B , и ложно, когда ложны оба высказывания A и B .
       Приведенное определение дизъюнкции вполне отвечает обычному употреблению сою-
за «или». Действительно, в практике рассуждений утверждение « A или B » считается вер-
ным в любом из случаев, когда верно A или B ; если же оба утверждения A и B неверны,
то неверно и « A или B ».
      Определение 4. Импликацией высказываний A и B называется высказывание, обо-
значаемое A ⇒ B (читается: «Если A , то B », или «Из A следует B », или « A влечет за со-
бой B »), которое ложно лишь в том случае, если A истинно, а B ложно.
      Приведенное определение импликации в основном отражает тот смысл, который
придается в обычных рассуждениях связке «если…, то…». Единственное возражение может
вызвать случай, когда A – ложно, B – истинно, а высказывание A ⇒ B – истинно. Однако с
таким пониманием импликации приходится все же согласиться, поскольку принцип «Из лжи
следует что угодно» представляется вполне оправданным.
      Заметим, что при рассмотрении импликации A ⇒ B высказывание A называют по-
сылкой (или условием) импликации, а высказывание B – ее заключением (или следствием).