Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 18 стр.

                                                       - 18 -
       Определение 5. Эквивалентностью (равносильностью) высказываний A и B называ-
ется новое высказывание, обозначаемое A ⇔ B (читается: « A эквивалентно B » или « A то-
гда и только тогда, когда B »), которое истинно в том и только в том случае, если A и B од-
новременно истинны или одновременно ложны.
       Таблицы истинности рассмотренных двуместных логических операций имеют сле-
дующий вид:
                            A B A∧ B A∨ B A⇒ B A ⇔ B
                            И И        И      И        И        И
                            И Л        Л      И        Л         Л
                            Л И        Л      И        И         Л
                            Л Л        Л      Л        И        И
        В математической логике принято не различать логические операции с одинаковыми
таблицами истинности независимо от того, какое словесное оформление имеют эти логи-
ческие операции. Например, высказывание A ⇒ B может передаваться посредством выра-
жений «Если A , то B », « A влечет B », «В случае A имеет место B », «Для A необходимо B »,
« A , только если B » и т.п. Вот языковые эквиваленты для других логических операций:
         A – «Не A », « A не имеет места», « A неверно»;
         A ∧ B – « A и B », «Не только A , но и B », «Как A , так и B »;
         A ∨ B – « A или B », « A или B или оба», « A , если не B »;
         A ⇔ B – « A , если и только если B », «Если A , то и B , и обратно», « A эквивалентно
B », « A равносильно B », « A тогда и только тогда, когда B ».
       Наконец, приведем пример операции над высказываниями, которая не является логи-
ческой операцией: по высказыванию A строим высказывание «Я знаю, что A ». Очевидно, что
истинность или ложность такого высказывания зависит не только от истинностного зна-
чения A , но и от осведомленности субъекта, произносящего это высказывание.
      Введенные нами логические операции ¬ , ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ называются пропозициональ-
ными7 операциями, а символы, используемые для их обозначения, – пропозициональными
связками.
      3. Логика высказываний. Если в выражении встречаются различные логические
операции, то возникает проблема очередности их выполнения. В качестве естественного по-
рядка действий (выполняемых поочередно слева направо) выберем следующую последова-
тельность: ¬ , ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ . Это означает, что сначала выполняются операции отрицания, за-
тем конъюнкции и т.д. Для нарушения такого порядка служат скобки.
      Пример 4. Пусть высказывания A и B имеют значения «истина», а высказывания C
и D – «ложь». Тогда формула A ⇒ B ∧ C ⇔ D ∨ A имеет значение «ложь». Это легко уста-
новить с помощью следующей таблицы истинности:
               A B C D D B ∧ C D ∨ A A ⇒ (B ∧ C) A ⇒ B ∧ C ⇔ D ∨ A
              И И Л Л И                  Л        И         Л               Л

       Введя скобки, получим формулу A ⇒ B ∧ (C ⇔ D) ∨ A , которая уже имеет другое зна-
чение – «истина».
       Переменная, допустимыми значениями которой являются произвольные высказыва-
ния, называется пропозициональной переменной.
       Формулами логики высказываний, или пропозициональными формулами, назовем вы-
ражения, которые строятся из пропозициональных переменных с помощью скобок и пропо-
зициональных связок по следующим правилам:
       1) любая пропозициональная переменная является пропозициональной формулой;
       2) если A и B – пропозициональные формулы, то ⌐A , A ∧ B, A ∨ B, A ⇒ B, A ⇔ B –
          пропозициональные формулы.

7
    От англ. Proposition – предложение, утверждение.