Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 20 стр.

                                                - 20 -
предложение построено из более простых предложений с помощью пропозициональных
операций и кванторов. Логический анализ предложений есть своего рода искусство, практи-
ческие навыки которого можно приобрести путем упражнений. Рассмотрим некоторые при-
меры. Высказывание «2 – простое число, а 6 – составное», очевидно, может быть представ-
лено в виде конъюнкции «2 – простое число» ∧ «6 – составное число». Предложение «Каж-
дое рациональное число есть действительное число» можно иначе записать так:
                ∀ x [( x – рациональное число) ⇒ ( x – действительное число)],
а предложение «Некоторые действительные числа являются рациональными» – так:
                 ∃ x [( x – действительное число) ∧ ( x – рациональное число)].
       Упражнение. Найдите значения истинности следующих высказываний, где возмож-
ными значениями переменных являются действительные числа:
       а) ∀x ∃ y ( x + y = 3) ;             г) ∀x ∀y ( x + y = 3) ⇒ (7 = 11) ;
       б) ∃ y ∀x ( x + y = 7) ;             д) ∃ a ∀b ∃ x ( x 2 + ax + b = 0) .
       в) ∃ x ∃ y ( x + y = 11) ;
       5. Еще раз о методах доказательств. При построении любой теории выделяется не-
который набор высказываний, истинность которых постулируется. Такие высказывания на-
зываются аксиомами теории. Введение аксиом приводит к тому, что, исходя из них, чисто
логическим путем может быть установлена истинность некоторых других высказываний, на-
зываемых теоремами. Последовательность высказываний рассматриваемой теории, каждое
из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или более предыдущих вы-
сказываний этой последовательности по логическим правилам вывода, называется доказа-
тельством. Высказывание, которое можно доказать, называется теоремой.
       Формально каждая теорема может быть выражена в форме импликации A ⇒ B , где
посылка A называется условием теоремы, а ее следствие B – заключением. Теорема верна,
если выражающая ее импликация тождественно истинна, т.е. является тавтологией. Тавтоло-
гии рассматривают как некоторые логически истинные схемы рассуждений. В этой связи
тавтологии играют роль законов, определяющих построение правильных умозаключений.
Существует бесконечное множество тавтологий. Некоторые из них легли в основу методов
доказательства.
       Рассмотрим ряд наиболее известных методов доказательств.
       Метод цепочек импликаций состоит в том, что из посылки A выстраивается цепочка
из n импликаций, последним высказыванием в которой является заключение теоремы B ,
т.е.
                                   A ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒ ... ⇒ An−1 ⇒ B .
       В основе этого метода лежит закон цепного высказывания, или закон силлогизма9:
                                  ( A ⇒ B) ∧ ( B ⇒ C ) ⇒ ( A ⇒ C ) .
       В методе доказательства от противного вместо доказательства прямого следствия
«Из A следует B » ( A ⇒ B ) доказывают, что из «Не B » следует «Не A » ( B ⇒ A ). Этот ме-
тод основан на законе контрапозиций, имеющем следующий вид:
                                       ( A ⇒ B ) ⇔ ( B ⇒ A) .
       При применении метода необходимого и достаточного теорема обычно формулиру-
ется так: «Для того чтобы имело место A , необходимо и достаточно выполнение B ». Дока-
зательство такого вида теоремы распадается на две части:
       1) доказывается, что если имеет место A , то справедливо B ( B необходимо для A );
       2) если имеет место B , то имеет место и A ( B достаточно для A ).


  9
    СИЛЛОГИЗМ [< греч. syllogismos] – В логике: умозаключение, состоящее из двух суждений (посылок),
  из которых следует третье суждение (вывод); напр.: «Все четырехугольники имеют четыре стороны; квадрат
  — четырехугольник, следовательно, квадрат имеет четыре стороны».