Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 21 стр.

                                          - 21 -
Доказательство таким методом базируется на законе тавтологии:
                                 ( A ⇔ B ) ⇔ (( A ⇒ B ) ∧ ( B ⇒ A)) .
      Упражнение. Докажите следующие основные законы (тавтологии), определяющие
свойства логических операций:
      1. Коммутативность:
       A ∧ B ⇔ B ∧ A, A ∨ B ⇔ B ∨ A.
      2. Ассоциативность:
       A ∧ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∧ B) ∧ C , A ∨ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∨ B) ∨ C .
      3. Дистрибутивность:
       A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B) ∨ ( A ∧ C ) , A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B) ∧ ( A ∨ C ) .
      4. Законы де Моргана:
       A∧ B ⇔ A∨ B, A∨ B ⇔ A∧ B.
      5. Законы поглощения:
       A ∨ ( A ∧ B) ⇔ A , A ∧ ( A ∨ B) ⇔ A .
      6. Законы идемпотентности:
       A ∧ A ⇔ A, A ∨ A ⇔ A.
      7. A∧" истина" ⇔ A , A ∨ " ложь" ⇔ A .
      8. Закон противоречия:
       A ∧ A ⇔ " ложь" .
      9. Закон исключенного третьего:
       A ∨ A ⇔ "истина" .
      10. Закон двойного отрицания:
       A ⇔ A.
      Справедливость этих законов можно доказать, построив для левой и правой частей
соответствующие таблицы истинности. Эти тавтологии имеют фундаментальное значение, а
также позволяют преобразовывать сложные выражения, например, с целью их упрощения.

                                                           У случайности есть своя причина.
                                                                     Петроний, римский
                                                                      писатель (I в. н.э.)
                                    Лекция 4
                                  ВЕРОЯТНОСТЬ
       1. Различные подходы к понятию вероятности. Понятие случайного события явля-
ется основополагающим в изучении вероятностных методов и моделей. Под случайным бу-
дем понимать событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого
испытания. При этом испытанием может быть как целенаправленное действие, так и явле-
ние, происходящее независимо от наблюдателя. В дальнейшем случайные события будем на-
зывать просто событиями.
       Приведем несколько примеров.
       Пример 1. Испытание – бросание монеты. Возможные события – выпадение герба или
решки.
       Пример 2. Наступает день 1 сентября – испытание. «В течение дня наблюдается ясная
погода» – событие.
       Пример 3. Студент сдает экзамен – испытание. «Он получил оценку 5» – событие.
       Каждому событию может быть поставлено в соответствие число, принадлежащее от-
резку [0; 1] и называемое вероятностью данного события. Вероятность можно понимать как
меру достоверности (в том числе и субъективной) данного события. В таком смысле слово
«вероятность» употребляется и в бытовой речи, где, однако, ее обычно «измеряют» в про-
центах – от 0 до 100%. Вероятность обычно обозначают буквой P (от англ. probability – ве-