Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 19 стр.

                                                 - 19 -
         Если в пропозициональную формулу A, построенную из пропозициональных пере-
менных P1 , P2 ,..., Pn , вместо этих переменных подставить конкретные высказывания, то по-
лучится некоторое высказывание. Пропозициональная формула называется тавтологией, ес-
ли она превращается в истинное высказывание при любой подстановке конкретных выска-
зываний вместо переменных; каждая тавтология является схемой истинных высказываний и
в этом смысле выражает некоторый логический закон. Приведем примеры логических зако-
нов: A ∨ A – закон исключенного третьего; A ⇔ A – закон двойного отрицания;
(( A ⇒ B ) ⇒ A) ⇒ A – закон Пирса.
         Значение истинности высказывания, полученного подстановкой в пропозициональ-
ную формулу конкретных высказываний вместо пропозициональных переменных, зависит
только от значений истинности подставляемых высказываний. Поэтому довольно легко
можно проверить, является ли данная пропозициональная формула тавтологией. Для этого
достаточно перебрать всевозможные подстановки в эту формулу значений И и Л вместо
пропозициональных переменных (таких подстановок ровно 2 n , где n – число переменных в
формуле), и для каждой такой подстановки вычислить соответствующее значение формулы,
пользуясь таблицами истинности для логических операций. Формула является тавтологией
тогда и только тогда, когда при любой подстановке она принимает значение И.
         4. Кванторы. Наряду с пропозициональными операциями в математической логике
рассматриваются кванторы, позволяющие из данной высказывательной формы получать вы-
сказывательную форму с меньшим числом параметров, в частности, из одноместной выска-
зывательной формы – высказывание.
         Квантор всеобщности есть операция, которая позволяет из данной высказывательной
формы с единственной переменной x получить высказывание с помощью оборота «Для
всех x …». Знак квантора всеобщности « ∀ ». Результат его применения к высказывательной
форме A(x) будем обозначать ∀x A(x) . Высказывание ∀x A(x) считается истинным тогда и
только тогда, когда при подстановке в A(x) вместо переменной x любого объекта из облас-
ти ее возможных значений всегда получается истинное высказывание. Высказывание
∀x A(x) может читаться также: «Для любого x имеет место A(x) », «Для всех x таких, что
 A( x) », « A( x) при произвольном x » и т.п.
         Квантор существования соответствует образованию из данной высказывательной
формы с единственной переменной x высказывания с помощью оборота «Существует такой
 x , что…». Знак квантора существования « ∃ ». Результат его применения к высказыватель-
ной форме A( x) обозначается ∃ x A( x) . Высказывание ∃ x A( x) истинно тогда и только то-
гда, когда в области возможных значений переменной x найдется такой объект, что при
подстановке его вместо переменной x в A(x) получается истинное высказывание. Высказы-
вание ∃ x A(x) может читаться также: «Для некоторых x имеет место A(x) », «Для подходя-
щего x верно A(x) », «Найдется x , для которого A(x) », «Хотя бы для одного x верно A(x) »
и т.п.
         Отметим, что в предложениях ∀x A(x) и ∃ x A(x) переменная x не является свобод-
ной переменной: кванторы «связывают» эту переменную8. Очевидно, что кванторы можно
применять и к высказывательным формам, содержащим наряду с x и другие параметры. В
результате получится высказывательная форма, имеющая те же параметры (переменные),
что и исходная, кроме x .
         Большое значение для логики имеет анализ логической структуры высказываний и
высказывательных форм, т.е. выявление того, каким образом данное повествовательное

8
  Если переменная употребляется таким образом, что допускается подстановка вместо нее обозначений (имен)
объектов из области ее возможных значений, то эта переменная называется свободной. В том случае, когда по
смыслу выражения, содержащего переменную, подстановка вместо нее имен конкретных объектов недопусти-
ма, эта переменная называется связанной.