Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 16 стр.

                                                 - 16 -
         S k +1 = (1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1)) + (2k + 1) = S k + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + 1) 2 .
       Итак, A(k ) ⇒ A(k + 1) . На основании принципа математической индукции заключаем,
что предложение A(n) истинно для любого n ∈ N .
       В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не
для всех натуральных чисел, а лишь для n ≥ p , где p – фиксированное натуральное число.
Тогда принцип математической индукции формулируется следующим образом: если пред-
ложение A(n) истинно при n = p и если A(k ) ⇒ A(k + 1) для любого k ≥ p , то предложение
 A(n) истинно для любого n ≥ p .

                                                    Тот, кто не знает, и не знает, что он не знает –
                                                                                      глупец, избегай его
                                                    Тот, кто не знает, и знает, что он не знает –
                                                                           может научиться, научи его.
                                                    Тот, кто знает, и не знает, что он знает –
                                                                                     спит, разбуди его.
                                                    Тот, кто знает, и знает, что он знает –
                                                                                   Пророк, учись у него.
                                                                Древнее персидское стихотворение
                                Лекция 3
                     МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА (окончание)
       1. Понятие высказывания. Любая научная теория воспринимается нами как некото-
рая система утверждений. Истинность каждого из них, вообще говоря, нуждается в доказа-
тельстве. В отдельных случаях такое доказательство может проводиться опытным путем, но
чаще всего оно достигается с помощью логических средств. Именно эти логические средства
и изучает раздел математики, называемый математической логикой. Исходным понятием
математической логики является понятие высказывания.
       Определение. Высказыванием называется повествовательное предложение, которое
может быть либо истинным, либо ложным.
       Примеры. 1. Предложение «Снег – белый» есть истинное высказывание.
       2. Предложение «Волга впадает в Средиземное море» – ложное высказывание.
       3. Предложение «2+2=10» – ложное высказывание.
       Далеко не всякое предложение является высказыванием. В частности, вопроситель-
ные и повелительные предложения не относятся к высказываниям. Например, по поводу
предложения «Который час?» не имеет смысла ставить вопрос, истинно оно или ложно; то
же самое относится, скажем, к предложению «Мойте руки перед едой!». Не являются выска-
зываниями и такие предложения, которые служат определениями чего-либо, например:
«Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны».
       Существуют предложения, которые безусловно являются истинными или ложными,
однако в силу недостаточности наших знаний мы не можем в данный момент сказать точно,
истинны они или ложны. Например, «Земля – единственная обитаемая планета во Вселен-
ной» или «Всякое четное число есть сумма двух простых» (нерешенная до конца проблема
теории чисел). Предложения такого типа мы также считаем высказываниями.
       Однако, не всякое повествовательное предложение является высказыванием. Рассмот-
рим, например, предложение: «Остаток от деления числа n на 7 равен 3». В этом предложе-
нии не содержится никакого утверждения, и нельзя ставить вопрос о его истинности или
ложности. Однако, подставив в это предложение вместо n конкретное натуральное число,
мы получим высказывание.
       Буква n , входящая в это предложение, играет роль переменной. Вообще, переменная
– это языковое выражение, служащее для обозначения произвольного объекта из некоторого
фиксированного множества, называемого областью возможных значений этой переменной.