Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 9 стр.

                                           -9-
                                                  Никогда не садись в машину к незнакомцу и
                                                  никогда не играй в игры с математиком
                                Лекция 2
                         МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
       Начало науки о законах и формах мышления связывают с именем Аристотеля. Про-
шло два тысячелетия, прежде чем Г. Лейбниц предложил ввести в логику математическую
символику и использовать ее для общих логических построений. Эту идею последовательно
реализовал в XIX в. англичанин Джордж Буль и тем самым заложил основы математиче-
ской логики.
       Математическая логика – современный вид формальной логики, изучающей правила
выведения следствий из различных посылок, истинность которых очевидна. Математическая
логика возникла в середине XIX в. для потребностей математики и стала применяться в са-
мых различных областях знаний, в том числе и в правоприменительной деятельности.
       1. Доказательства в математике. Что отличает книгу по математике от книги по ка-
кому-то другому предмету? Обилие формул? Но они есть и в книгах по физике, астрономии
или мостостроению. Наличие доказательств – вот что, прежде всего, отличает математику от
других областей знания.
       Первую попытку представить в одном труде всю математику предпринял древнегре-
ческий ученый Евклид в III в. до н.э. В результате появилась его знаменитая книга «Начала».
В ней впервые при изложении основ элементарной геометрии, теории чисел, алгебры и дру-
гих разделов античной математики был использован аксиоматический метод.
       Аксиоматический метод построения научной теории заключается в том, что некото-
рые исходные положения, называемые аксиомами или постулатами, принимаются «без до-
казательства», а все утверждения этой теории выводятся из них путем рассуждений.
       «Начала» Евклида составлены по определенной схеме, сложившейся еще до Евклида в
древнегреческой науке: сначала приводятся определения и постулаты, а затем формули-
ровки теорем и их доказательства.
       Некоторые определения в «Началах» Евклида – просто описания исходных понятий.
Например: «Точка есть то, что не имеет частей», «Линия же – длина без ширины», «Прямая
линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней». Ясно, что та-
кие «определения» вряд ли могут быть использованы в математических доказательствах.
Однако наряду с ними имеются определения, являющиеся таковыми и в современном смыс-
ле: они «называют» (т.е. вводят) понятия. Например: «Параллельные суть прямые, которые,
находясь в одной плоскости и будучи неограниченно продолжены в обе стороны, ни с той, ни
с другой стороны между собой не встречаются».
       Вслед за определениями идут постулаты, в которых утверждается возможность
выполнения элементарных построений:
       I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести
прямую линию.
       II. И чтобы каждую ограниченную прямую можно было непрерывно продолжить по
прямой.
       III. И чтобы из всякого центра и всяким радиусом можно было описать круг.
       IV. И чтобы все прямые углы были равны между собой.
       V. И чтобы всякий раз, когда прямая, падающая на две прямые, образует с ними
внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, то эти прямые пе-
ресекаются с той стороны, где эта сумма меньше двух прямых.
       За постулатами в началах Евклида приводятся аксиомы – предложения о свойствах
отношений равенства и неравенства. Вот примеры аксиом: «Равные порознь третьему
равны между собой», «И если к равным прибавить равные, то получим равные», «И целое
больше части».
       На основе определений, постулатов и аксиом путем доказательства выводятся но-
вые геометрические утверждения – теоремы.
       Поскольку предполагалось, что геометрия есть описание реального физического про-
странства, вполне естественно, что Евклид полагал значение таких понятий, как «точка»,
«прямая», достаточно ясным, а относящиеся к ним постулаты и аксиомы считал «самооче-
видными истинами».