Лекции по курсу математики для юристов. Саакян Г.Р - 7 стр.

                                                       -7-

        Примерами сюръективных отображений                          f : R → [−1; 1]       являются функции
y = sin x , y = cos x .
        Определение. Отображение                f : X → Y называется инъективным (или вложением),
если из x1 ≠ x2 следует               f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) , т.е. каждый образ f (x) обладает ровно одним
прообразом x .
      Примерами инъективных отображений                    f : D (⊂ R ) → R      могут служить монотон-
ные функции   y = log 2 x , y = 3 x , y = x и т.д.
        Определение. Отображение f : X → Y называется биективным, если оно одновре-
менно и инъективно и сюръективно.
      4. Обратимость отображений. Пусть                    f : X → Y . Рассмотрим уравнение, порож-
денное отображением       f       :
                                                     f ( z) = y ,                                      (2)
где   z (∈ X ) – неизвестное, y (∈ Y ) – параметр.
         Ясно, что если f инъективно, но не сюръективно, то существуют такие значения па-
раметра, при которых уравнение (2) не имеет решений, а для тех значений параметра, при
которых у уравнения есть решения, это решение для каждого значения параметра единст-
венно.
        Если f сюръективное отображение, но не инъективное, то уравнение (2) имеет ре-
шения при любом значении параметра, и существует хотя бы одно такое значение параметра
 y , при котором уравнение (2) имеет более одного решения.
        В случае, когда       f       – биективное отображение, уравнение (2) имеет при каждом зна-
чении параметра единственное решение. В этом случае отображение                       f    определяет другое
                   −1
отображение    f  : Y → X , которое каждому элементу y ∈ Y ставит в соответствие ре-
                                               −1                     −1
шение уравнения (2). Это решение обозначается f ( y ) . Отображение f    : Y → X на-
зывается обратным для отображения f .
                                −1                    −1
      Нетрудно убедиться, что f ( f ( x)) = x и f ( f ( y )) = y .
      Определение. Отображение f : X → Y называется обратимым, если существует
               −1
отображение f     : Y → X такое, что
                                         ( f −1 o f )( x) = x , ∀x ∈ X ,
                                     ( f o f −1 )( y ) = y , ∀y ∈ Y .
При этом отображение          f −1 называется обратным к f .
     Теорема (критерий обратимости). Для того чтобы отображение                            f : X →Y    было
обратимым, необходимо и достаточно, чтобы оно было биективным.
     Пример. 1) sin : R → R не является обратимым;
2) sin : R → [−1;1] не является обратимым;
3) sin : [ − π 2 ; π 2] → R не является обратимым;