Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

3
МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
1. Основные понятия. В математике понятие множества и элемента
множества считаются первичными, не определяемыми через другие понятия
(воспринимаемыми интуитивно). Тот факт, что объект
x
является элементом
множества
A
, записывается, как
A
x
∈
. Знак
∈
называют знаком включения. За-
пись
A
x
∉
(или
A
x
∈
) означает, что
x
не является элементом множества
A
.
Будем считать, что мы выбрали и зафиксировали достаточно широкое мно-
жество, за пределы которого не будем выходить. Элементы всех множеств, кото-
рые мы будем рассматривать, одновременно являются элементами этого широко-
го фиксированного множества, называемого универсальным множеством (для
этого множества будем применять обозначение
E
).
Говорят, что множество
A
задано, если относительно любого элемента
E
x
∈
можно сказать, принадлежит он или не принадлежит множеству
A
. Обыч-
но множество задается указанием характеристического свойства его элементов,
т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только
они. Множество
A
элементов
x
, обладающих свойством )(
x
1
, символически
записывают в виде
)}(:{
x
x
A
=
. Например, запись
,...}2,1,2:{ ==
=
k
k
x
x
A
означает, что множество
A
состоит из четных положительных чисел 2, 4, 6, 8, … .
Множество
A
называют подмножеством другого множества
B
, если каж-
дый элемент множества
A
является одновременно элементом множества
B
. В
этом случае пишут
B
A
⊂
или
A
B
⊃
. Знаки
⊂
и
⊃
также называют знаками
включения.
Пример
. Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обо-
значения, которых стоит придерживаться:
N
– множество натуральных чисел,
Z
– множество целых чисел,
Q – множество рациональных чисел,
R
– множество
действительных (вещественных) чисел. Имеет место такое последовательное
включение:
R
Q
Z
N
⊂⊂⊂ .
Множества
A
и
B
называются равными (пишут
)
B
A
=
, если
B
A
⊂
и
A
B
⊂
, т.е. если эти множества состоят из одних и тех же элементов.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обо-
значается символом
∅
.
Примерами
пустых множеств являются: множество треугольников, длины
сторон которых равны 2см, 3 см, 7 см; множество рациональных чисел, квадрат
которых равен 2; множество решений системы уравнений
1=
+
y
x
, .2=+ y
x
Принято считать, что пустое множество принадлежит в качестве подмноже-
ства любому множеству; очевидно, также
A
A
⊂ .
A
и
∅
называют несобствен-
ными подмножествами множества
A
, все остальные подмножества множества
A
называют собственными.
1
Здесь P(x) – (одноместный) предикат, а именно, связное повествовательное предложение, со-
держащее переменную и обладающее свойством превращаться в высказывание (т.е. принимать
значение истинности во множестве {0;1}) при подстановке вместо переменной любого кон-
кретного значения. 
                                            3


                   МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
       1. Основные понятия. В математике понятие множества и элемента
множества считаются первичными, не определяемыми через другие понятия
(воспринимаемыми интуитивно). Тот факт, что объект x является элементом
множества A , записывается, как x ∈ A . Знак ∈ называют знаком включения. За-
пись x ∉ A (или x ∈ A ) означает, что x не является элементом множества A .
       Будем считать, что мы выбрали и зафиксировали достаточно широкое мно-
жество, за пределы которого не будем выходить. Элементы всех множеств, кото-
рые мы будем рассматривать, одновременно являются элементами этого широко-
го фиксированного множества, называемого универсальным множеством (для
этого множества будем применять обозначение E ).
       Говорят, что множество A задано, если относительно любого элемента
 x ∈ E можно сказать, принадлежит он или не принадлежит множеству A . Обыч-
но множество задается указанием характеристического свойства его элементов,
т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только
они. Множество A элементов x , обладающих свойством P (x) 1, символически
записывают в виде A = {x : P ( x )} . Например, запись A = {x : x = 2k , k = 1,2,...}
означает, что множество A состоит из четных положительных чисел 2, 4, 6, 8, … .
       Множество A называют подмножеством другого множества B , если каж-
дый элемент множества A является одновременно элементом множества B . В
этом случае пишут A ⊂ B или B ⊃ A . Знаки ⊂ и ⊃ также называют знаками
включения.
       Пример. Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обо-
значения, которых стоит придерживаться: N – множество натуральных чисел, Z
– множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество
действительных (вещественных) чисел. Имеет место такое последовательное
включение: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R .
       Множества A и B называются равными (пишут A = B ) , если A ⊂ B и
B ⊂ A , т.е. если эти множества состоят из одних и тех же элементов.
       Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обо-
значается символом ∅ .
       Примерами пустых множеств являются: множество треугольников, длины
сторон которых равны 2см, 3 см, 7 см; множество рациональных чисел, квадрат
которых равен 2; множество решений системы уравнений x + y = 1 , x + y = 2.
       Принято считать, что пустое множество принадлежит в качестве подмноже-
ства любому множеству; очевидно, также A ⊂ A . A и ∅ называют несобствен-
ными подмножествами множества A , все остальные подмножества множества A
называют собственными.


1
 Здесь P(x) – (одноместный) предикат, а именно, связное повествовательное предложение, со-
держащее переменную и обладающее свойством превращаться в высказывание (т.е. принимать
значение истинности во множестве {0;1}) при подстановке вместо переменной любого кон-
кретного значения.

Страницы