Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

5
I
∞
=1n
n
A
обозначает их пересечение, т.е. множество, каждый элемент которого принадле-
жит всем данным множествам.
Пример 5
.
}3,1{}4,3,2,1{}5,3,1,0{
=
∩
.
Пример 6
. Пусть
A
– множество всех прямоугольников,
B
– множество
всех ромбов. Что собой представляет множество
B
A
∩
? (Ответ. Множество всех
квадратов).
Пример 7
. Будем себе представлять каждый прямоугольник как множество,
а именно – как множество всех точек, принадлежащих его контуру или лежащих
внутри него. Какую фигуру образует пересечение всех прямоугольников, вписан-
ных в данную окружность? (Ответ. Центр круга).
Разностью множеств
A
и
B
называют множество тех элементов из
A
, ко-
торые не содержатся в
B
:
}:{
\
B
и
A
B
A
∉
∈
=
.
Разность
A
E
\
, где
E
– универсальное множество, называется дополнени-
ем множества
A
и обозначается символом
A
.
2. Декартово произведение. Пусть
X и Y – произвольные множества. Па-
ру
),( y
x
элементов
X
x
∈
,
Yy ∈
, взятых в указанном порядке, будем называть
упорядоченной парой, считая при этом, что
),(),(
2211
yxyx
=
тогда и только то-
гда, когда
2121
, yyxx
=
=
. Декартовым произведением
Y
X
×
двух множеств
X
и
Y
называется множество всех упорядоченных пар
),( y
:
},:),{(
Y
yX
x
y
x
Y
X
∈
∈
=
×
.
Пусть, например,
R
– множество всех вещественных чисел. Тогда декартов
квадрат
R
R
R
×
=
2
есть просто множество всех декартовых координат точек
плоскости относительно заданных координатных осей. Аналогичным образом
можно было бы ввести декартово произведение
321
XXX
×
×
трех множеств, че-
тырех и т.д. При
XXX
n
==
=
...
1
пишут сокращенно
n
X вместо
43421
разn
XX ××...
и
A
B
A
B
B
A
∩
B
A
\
                                            5

                                        ∞

                                       IA       n
                                       n =1
обозначает их пересечение, т.е. множество, каждый элемент которого принадле-
жит всем данным множествам.



                              B
                                                    A              B
                   A


                     A\B                                A∩ B
       Пример 5. {0,1,3,5} ∩ {1,2,3,4} = {1,3}.
       Пример 6. Пусть A – множество всех прямоугольников, B – множество
всех ромбов. Что собой представляет множество A ∩ B ? (Ответ. Множество всех
квадратов).
       Пример 7. Будем себе представлять каждый прямоугольник как множество,
а именно – как множество всех точек, принадлежащих его контуру или лежащих
внутри него. Какую фигуру образует пересечение всех прямоугольников, вписан-
ных в данную окружность? (Ответ. Центр круга).
       Разностью множеств A и B называют множество тех элементов из A , ко-
торые не содержатся в B : A \ B = {x : x ∈ A и x ∉ B}.
       Разность E \ A , где E – универсальное множество, называется дополнени-
ем множества A и обозначается символом A .
       2. Декартово произведение. Пусть X и Y – произвольные множества. Па-
ру ( x, y ) элементов x ∈ X , y ∈ Y , взятых в указанном порядке, будем называть
упорядоченной парой, считая при этом, что ( x1 , y1 ) = ( x2 , y2 ) тогда и только то-
гда, когда x1 = x2 , y1 = y2 . Декартовым произведением X × Y двух множеств X
и Y называется множество всех упорядоченных пар ( x, y ) :
                           X × Y = {( x, y ) : x ∈ X , y ∈ Y } .
Пусть, например, R – множество всех вещественных чисел. Тогда декартов
            2
квадрат R = R × R есть просто множество всех декартовых координат точек
плоскости относительно заданных координатных осей. Аналогичным образом
можно было бы ввести декартово произведение X 1 × X 2 × X 3 трех множеств, че-
                                                              n
тырех и т.д. При X 1 = ... = X n = X пишут сокращенно X           вместо 1×...
                                                                         X42×  4
                                                                               3X и
                                                                           n раз

Страницы