Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 6 стр.

                                              6

                                                                                  n
говорят об n -й декартовой степени множества X . Элементами X                         являются
упорядоченные наборы ( x1 ,..., xn ) .

     ОТОБРАЖЕНИЯ (ФУНКЦИИ). РАВНОМОЩНЫЕ МНОЖЕСТВА
      1. Общие понятия. Мы говорим, что задано отображение f множества
X во множество Y , и пишем f : X → Y , если каждому элементу x из области
определения X сопоставлен однозначно определенный элемент y = f (x) из об-
ласти действия Y , называемый образом элемента x при отображении f (такое
сопоставление символически принято обозначать так: x a f (x) ). При этом не
исключается возможность, что одному элементу y ∈ Y отвечает при отображении
 f несколько элементов xi ∈ X , таких, что f ( xi ) = y . Подмножество {xi } ⊂ X
всех таких элементов называется прообразом элемента y ∈ Y при отображении
 f и обозначается f −1 ( y ) , т.е. f −1 ( y ) = {x ∈ X : f ( x) = y} .
      Более общо, образом множества X 1 ⊂ X при отображении f называется
множество f ( X 1 ) = { f ( x) : x ∈ X 1} ⊂ Y . Прообразом множества Y1 ⊂ Y при
                                    −1
отображении f (обозначают: f             (Y1 ) ) называется объединение прообразов всех
элементов, входящих в Y1 , т.е.
                  f −1 (Y1 ) = {x ∈ X : f ( x) ∈ Y1} =   Uf     −1
                                                                     ( y) ⊂ X .
                                                         y∈Y1
       Вместо термина «отображение» часто употребляют термин «оператор»
(особенно в функциональном анализе и линейной алгебре), а также «функция»
(особенно в случае, когда Y – числовое множество). Отображение f : X → X
называют также преобразованием множества X (в себя).
       Графиком функции f : X → Y называется множество пар вида ( x, f ( x )) ,
 x∈ X .
       2. Композиция функций (сложная функций). Пусть f : X → Y ,
 g : Y → Z . Композицией (или суперпозицией) функций f и g называется функ-
ция, обозначаемая g o f : X → Z и определяемая следующим равенством:
                                              def
                                ( g o f )( x) = g ( f ( x)) .
Правая часть этого равенства показывает, что значение композиции в точке x
вычисляется в результате последовательного действия сначала f , а затем (на по-
лученный результат) функции g .
                                                                                      2
      Пример. Пусть f : R → R и f ( x) = sin x , g : R → R и g ( x) = x . Тогда
( g o f )( x) = sin 2 x , ( f o g )( x) = sin ( x 2 ) . Попутно мы доказали, что во множе-
стве функций, на которых определены и f o g и g o f , композиция не является
коммутативной операцией.