Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 8 стр.

                                                  8


       Теорема      (критерий       обратимости).            Для   того   чтобы   отображение
f : X → Y было обратимым, необходимо и достаточно, чтобы оно было биек-
тивным.
      Пример. 1) sin : R → R не является обратимым;
2) sin : R → [ −1;1] не является обратимым;
3) sin : [ − π 2 ; π 2] → R не является обратимым;
                                                             def
                                                        −1
4) sin : [ − π 2 ; π 2] → [ −1;1] обратим, sin = arcsin .
      Упражнение. Пусть g : X → Y и f : Y → Z – биективные отображения.
Докажите, что тогда биективна и их композиция             f o g , причем
( f o g ) −1 = g −1 o f −1 .
      5. Мощность. Говорят, что множества X и Y равномощны или имеют оди-
наковую мощность, если существует биективное отображение X → Y . Множе-
ства той же мощности, что и N , называются счетными. Множества, имеющие
одинаковую мощность со множеством R , называют множествами мощности
континуум.
      Пример. Сопоставим каждому числу n число 2n . Тогда получим вложение
множества всех натуральных чисел во множество всех натуральных четных чисел.
Таким образом, множество всех натуральных чисел равномощно с множеством
всех четных (натуральных) чисел.
      Как показал приведенный пример, вполне может оказаться, что множество
равномощно со своим собственным подмножеством. На самом деле это характе-
ристическое свойство всех бесконечных множеств, т.е. свойство, которое может
служить определением таких множеств. Ничего подобного нельзя встретить, рас-
сматривая конечные множества.
                                МАТРИЦЫ
       1. Понятие матрицы. Прямоугольная таблица чисел
                                       ⎛ a11     a12     ... a1n ⎞
                                       ⎜                           ⎟
                                       ⎜ a 21    a 22    ... a2n ⎟
                                                                     ,                   (2)
                                       ⎜ ...      ...    ... ... ⎟
                                       ⎜⎜                          ⎟
                                        ⎝ a m1   am 2    ... a mn ⎟⎠
содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей размеров m × n . Числа
aij называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя
индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в ко-
торых расположен этот элемент. В дальнейшем будем обозначать матрицы боль-
шими буквами латинского алфавита: A, B и т.д.
     Часто вместо подробной записи (2) употребляют сокращенную:
A = ( aij ) im, ,jn=1 или даже A = ( aij ).