Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 9 стр.

                                                9


                        ( )              ( )
      Две матрицы A = aij и B = bij считаются равными, если совпадают их
размеры и aij = bij при любых i и j .
      Наряду с матрицей
                               ⎛ a11        a12           ...       a1n ⎞
                               ⎜                                          ⎟
                               ⎜a           a 22          ...       a2 n ⎟
                           A = ⎜ 21
                                   ...      ...           ...        ... ⎟
                               ⎜⎜                                         ⎟
                                ⎝ a m1     am 2           ...       a mn ⎟⎠
часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки
матрицы A (т.е. столбцы и строки меняются местами). Эта матрица называется
                                                                T
транспонированной к A и обозначается через A :
                               ⎛ a11 a 21 ... a m1 ⎞
                               ⎜                     ⎟
                           T   ⎜ a12 a 22 ... a m 2 ⎟ .
                         A =⎜
                                   ... ... ... ... ⎟
                               ⎜⎜                    ⎟⎟
                                ⎝ a1n a 2 n ... a mn ⎠
      2. Квадратные матрицы. Если число строк матрицы равно числу ее столб-
цов, то матрица называется квадратной, а число n ее строк (равное числу столб-
цов) – порядком квадратной матрицы:
                              ⎛ a11      a12        ...     a1n ⎞
                              ⎜                                   ⎟
                              ⎜ a 21     a 22       ...     a2n ⎟
                                                                    .
                              ⎜ ...       ...       ...      ...  ⎟
                              ⎜⎜                                  ⎟
                               ⎝ a n1    an 2       ...     a nn ⎟⎠
      Диагональ a11 , a22 , ..., ann квадратной матрицы называется главной диаго-
налью, а диагональ a1n , a2, n −1 , ..., an1 – побочной диагональю.
      Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, кото-
рые находятся ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, т.е. треугольная
матрица имеет вид
               ⎛ a11 a12 ... a1 n ⎞                     ⎛ b11    0 ... 0 ⎞
               ⎜                              ⎟         ⎜                    ⎟
               ⎜   0   a 22     ...    a  2 n ⎟ или B = ⎜ b 21 b 22 ...  0   ⎟.
            A=⎜                                         ⎜
                  ...   ...     ...      ... ⎟             ...  ... ... ... ⎟
               ⎜⎜                             ⎟⎟        ⎜
                                                        ⎜b                   ⎟⎟
                ⎝  0     0      ...     a nn ⎠          ⎝ n1   b n2 ... b nn ⎠
При этом матрицу A называют верхнетреугольной, а матрицу B – нижнетре-
угольной.
      3. Действия с матрицами.
1) Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A = aij        ( )
  на число    λ , нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число:
   λA = ( λaij ).