Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 11 стр.

                                              11


                                     ⎛1        0 ... 0 ⎞
                                     ⎜                    ⎟
                                     ⎜0        1 ... 0 ⎟
                                  E =⎜                      ,
                                        ...    ... ... ...⎟
                                     ⎜⎜                   ⎟
                                     ⎝0        0 ... 1 ⎟⎠
которую называют единичной матрицей. Легко проверить, что для любой матрицы
 A n -го порядка имеют место равенства
                                 AE = EA = A .
Эти равенства показывают особую роль единичной матрицы E , аналогичную той
роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел.
      Как известно, для каждого числа a ≠ 0 существует такое число b , что
ab = 1 . Число b называется обратным для a . Если мы зафиксируем натуральное
число n и будем рассматривать квадратные матрицы n -го порядка, то в этом
множестве матриц единичная матрица E будет играть роль единицы. Естествен-
но поставить вопрос о существовании обратной матрицы, т.е. такой матрицы, ко-
торая в произведении с данной матрицей дает единичную.
      Определение. Пусть A – квадратная матрица n -го порядка. Квадратная
матрица B (того же порядка n ) называется обратной для A , если
                                 AB = BA = E .
                                                                          −1
Матрицу, обратную к матрице A , принято обозначать символом A .
                             ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
      Каждой квадратной матрице A может быть поставлено в соответствие не-
которое число, вычисляемое по определенному правилу с помощью элементов
матрицы. Такое число называют определителем (или детерминантом) матрицы
 A и обозначают символом | A | или det A . При этом порядком определителя на-
зывают порядок соответствующей матрицы.
      Правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков легко выписать:
a11 a12
        = a11a22 − a12 a21 ,
a21 a22
a11   a12   a13
a21 a22     a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31
a31 a32     a33
Последнюю формулу, несмотря на внешнюю сложность записи, нетрудно запом-
нить. Если соединить линией каждые три элемента определителя, произведение
которых входит в правую часть последней формулы со знаком « + », то получим
легко запоминающуюся схему 1. Аналогично для произведений, входящих со зна-
ком «–», имеем схему 2.