Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

12
Схема 1 Схема 2
Это правило вычисления определителей 3-го порядка называется правилом
треугольников.
Прежде, чем сформулировать определение определителя
n
-го порядка, рас-
смотрим одно вспомогательное понятие.
1. Перестановки. Перестановкой чисел
),...,2,1( n называют расположение
этих чисел в каком-либо определенном порядке (не обязательно в порядке возрас-
тания). Например,
)4,1,2,3( – одна из возможных перестановок чисел )4,3,2,1( .
Число различных перестановок, которые можно составить из чисел
),...,2,1( n
, равно произведению
!...321 nn
=
⋅
⋅
⋅
⋅
(читается: «n факториал»).
Пусть дана какая-то перестановка
),...,,(
21 n
jjjJ
=
чисел
),...,2,1( n
. На-
зовем инверсией (или беспорядком) в перестановке
J
любую пару чисел в этой
перестановке, из которых большее число расположено левее меньшего.
Пример
. В перестановке )4,1,2,3( имеются 3 инверсии: их образуют пары
)2,3( , )1,3( , )1,2( .
Условимся обозначать общее число инверсий в перестановке
J
символом
)(
J
σ
. Перестановка
J
называется четной, если число )(
J
σ
– четное, и нечет-
ной, если число
)(J
σ
– нечетное.
Так в рассмотренном выше примере перестановка содержала 3 инверсии и,
следовательно, является нечетной. Заметим, что перестановка
),...,2,1( n
не со-
держит ни одной инверсии, иначе говоря, содержит 0 инверсий. Следовательно,
эта перестановка является четной.
2. Определитель
n
-го порядка. Определителем
n
-го порядка (или опре-
делителем матрицы
n
-го порядка) называется число, равное
∑
−=
J
jnjj
J
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
...)1(
...
............
...
...
21
21
)(
21
22221
11211
σ
, (4)
где суммирование распространяется на все перестановки
),...,,(
21 n
jjjJ =
, ко-
торые можно составить из чисел
),...,2,1( n
. Количество слагаемых в правой час-
ти равенства (4) равно
!n
, так как количество всех перестановок множества из
n
элементов равно
!...321 nn =
⋅
⋅
⋅
⋅
                                                12




                          Схема 1                             Схема 2
        Это правило вычисления определителей 3-го порядка называется правилом
треугольников.
        Прежде, чем сформулировать определение определителя n -го порядка, рас-
смотрим одно вспомогательное понятие.
        1. Перестановки. Перестановкой чисел (1,2,..., n) называют расположение
этих чисел в каком-либо определенном порядке (не обязательно в порядке возрас-
тания). Например, (3,2,1,4) – одна из возможных перестановок чисел (1,2,3,4) .
        Число различных перестановок, которые можно составить из чисел
(1, 2,..., n) , равно произведению 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = n ! (читается: «n факториал»).
       Пусть дана какая-то перестановка J = ( j1 , j2 ,..., jn ) чисел (1, 2,..., n) . На-
зовем инверсией (или беспорядком) в перестановке J любую пару чисел в этой
перестановке, из которых большее число расположено левее меньшего.
       Пример. В перестановке (3,2,1,4) имеются 3 инверсии: их образуют пары
(3,2) , (3,1) , (2,1) .
       Условимся обозначать общее число инверсий в перестановке J символом
σ (J ) . Перестановка J называется четной, если число σ (J ) – четное, и нечет-
ной, если число σ (J ) – нечетное.
       Так в рассмотренном выше примере перестановка содержала 3 инверсии и,
следовательно, является нечетной. Заметим, что перестановка (1, 2,..., n) не со-
держит ни одной инверсии, иначе говоря, содержит 0 инверсий. Следовательно,
эта перестановка является четной.
       2. Определитель n -го порядка. Определителем n -го порядка (или опре-
делителем матрицы n -го порядка) называется число, равное
                a11   a12    ... a1n
                a21   a22    ... a2 n
                ...    ... ... ...
                                        =   ∑ (−1)σ
                                            J
                                                      (J )
                                                             a1 j1 a2 j 2 ... an j n ,   (4)

                an1   an 2 ... ann
где суммирование распространяется на все перестановки J = ( j1 , j2 ,..., jn ) , ко-
торые можно составить из чисел (1, 2,..., n) . Количество слагаемых в правой час-
ти равенства (4) равно n !, так как количество всех перестановок множества из n
элементов равно 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = n !

Страницы