Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 14 стр.

                                         14


      6) Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то и сам
определитель равен нулю.
      Это свойство вытекает из свойства 5 при λ = 0 .
      7) Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определи-
тель равен нулю.
      В самом деле, в силу свойства 5 множитель пропорциональности можно
вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одина-
ковыми строками, который равен нулю согласно свойству 4.
      8) Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответст-
вующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель λ , то
величина определителя не изменится.
      В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определи-
тель можно в силу свойства 3 разбить на сумму двух определителей, первый из
которых совпадает с исходным, а второй равен нулю в силу пропорциональности
двух строк и свойства 7.
      9) Определитель произведения матриц. Если C = AB , где A и B – квад-
ратные матрицы (одинакового порядка), то | C |=| A | ⋅ | B | .
      4. Вычисление определителей n -го порядка. Пусть дана матрица A n -го
порядка. Минором любого элемента aij называют определитель порядка n − 1,
соответствующий той матрице, которая получается из матрицы A в результате
вычеркивания i -й строки и j -го столбца (т.е. той строки и того столбца, на пере-
сечении которых стоит элемент aij ). Минор элемента aij будем обозначать сим-
волом M ij .
      Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы A называют минор
M ij этого элемента, умноженный на (−1)i + j , т.е.
                                Aij = (−1)i + j M ij .
      Теорема. Определитель матрицы A n -го порядка равен сумме произведе-
ний всех элементов какой-нибудь одной фиксированной строки на их алгебраиче-
ские дополнения, т.е. для любого i = 1,2,..., n имеет место равенство
                           | A |= ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain ,
называемое разложением определителя | A | по элементам i -й строки.
      Аналогично для k = 1,2,..., n имеет место разложение определителя | A |
по элементам k -го столбца:
                     | A |= a1k A1k + a2 k A2 k + ... + ank Ank .
                             (Без доказательства)
      Упражнение. Вычислите каждый из следующих определителей двумя спо-
собами (с помощью правила треугольников и с помощью разложения по элемен-
там строки или столбца):