Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 16 стр.

                                                      16


                                 ⎛2 5     7 ⎞      ⎛3 − 4 5 ⎞
                     ⎛1 2⎞       ⎜          ⎟      ⎜          ⎟
                  а) ⎜⎜  ⎟⎟ , б) ⎜ 6 3    4 ⎟ , в) ⎜ 2 − 3 1 ⎟ .
                     ⎝3 4⎠       ⎜ 5 − 2 − 3⎟      ⎜ 3 − 5 − 1⎟
                                 ⎝          ⎠      ⎝          ⎠
         СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
       1. Общие понятия. Линейным (относительно неизвестных x1 , x2 , ..., xn ) на-
зывают алгебраическое уравнение первой степени, т.е. уравнение вида
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , где a1 , ..., an , b – числа. Причина такого названия в
том, что уравнение первой степени с двумя переменными ax + by = c определяет
на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат прямую линию.
      Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид
                                ⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
                                ⎪a x + a x + ... + a x = b
                                ⎪ 21 1 22 2                       2n n        2
                                ⎨                                                     (6)
                                ⎪...............................................
                                ⎪⎩am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm
В общем случае число уравнений в системе не обязательно совпадает с числом
неизвестных: m может быть меньше, равно или больше числа n .
     Числа aij (вещественные или комплексные) называются коэффициентами
системы (6); bi – свободными членами; x1 , x2 , ..., xn – неизвестными.
     Систему (6) можно записать в матричной форме:
                                   A x =b ,

        ⎛ a11      a12    ...      a1n ⎞            ⎛ x1 ⎞             ⎛ b1 ⎞
        ⎜                                ⎟          ⎜ ⎟                ⎜ ⎟
           a       a 22   ...      a2 n ⎟           ⎜x ⎟               ⎜b ⎟
где A = ⎜ 21                               ,    x = ⎜ 2 ⎟,         b = ⎜ 2 ⎟.
        ⎜ ...       ...   ...       ... ⎟               M                  M
        ⎜⎜                               ⎟          ⎜⎜ ⎟⎟              ⎜⎜ ⎟⎟
         ⎝ a m1    am 2   ...      a mn ⎟⎠           ⎝ xn ⎠             ⎝ bm ⎠
     Если b1 = b2 = ... = bm = 0 , то система называется однородной, в противном
случае она называется неоднородной.
     Определение. Совокупность n чисел α1 , α 2 ,..., α n называется решением
системы (6), если после замены неизвестных x1 , x2 , ..., xn числами α1 , α 2 ,..., α n
соответственно каждое из уравнений системы превращается в верное равенство.
     Пример 1. Рассмотрим систему линейных уравнений
                                          ⎧ x + y + z = 1,
                                          ⎨
                                          ⎩2 x + 2 y + 2 z = 3 .