Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 18 стр.

                                                       18


                                        a11           a12     ... a1n
                                        a21           a22     ... a2 n
                               Δ=                                      ,
                                        ...            ...    ... ...
                                        an1           an 2 ... ann
составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем
системы (7).
      Теорема. Если определитель Δ квадратной системы (6) отличен от нуля,
то эта система имеет единственное решение. Это решение может быть най-
дено по формулам
                                Δ1     Δ2            Δ
                        x1 =       ,          x2 =
                                          , ..., xn = n ,
                                Δ       Δ             Δ
где Δ k – определитель, получаемый из определителя Δ заменой k -го столбца на
столбец свободных членов.
                          (Без доказательства)
     Формулы для неизвестных носят название формул Крамера.
     3. Ранг матрицы. Ранее для квадратной матрицы A = (aij ) n -го порядка
было введено понятие минора M ij элемента aij . Напомним, что так был назван
определитель порядка n − 1, полученный из определителя | A | вычеркиванием i -
й строки и j -го столбца.
           Введем теперь общее понятие минора. Рассмотрим некоторую, не обяза-
тельно квадратную матрицу A . Выберем какие-нибудь s номеров строк
i1 , i2 , ..., is и s номеров столбцов j1 , j2 ,..., js .
           Определение. Минором порядка s матрицы A (соответствующим выбран-
ным строкам и столбцам) называется определитель порядка s , образованный эле-
ментами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е. число
                                            ai1 j1       ai1 j 2   ... ai1 j s
                            i1 ...i s
                                            ai2 j1      ai2 j 2    ... ai2 j s
                       M     j1 ... j s =                                       .
                                             ...         ...       ... ...
                                            ai s j1     ai s j 2   ... ai s j s
     Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка s , сколькими спо-
собами можно выбрать номера строк i1 , i2 , ..., is и столбцов j1 , j2 ,..., js .
     Определение. В матрице A размеров m × n минор порядка s называется
базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка s + 1 равны нулю или
миноров порядка s + 1 вообще нет, т.е. s совпадает с меньшим из чисел m или
n.
     Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров. Все
базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все миноры
порядка s + 1 равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка s + 2 , а, следо-