Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 19 стр.

                                      19


вательно, и всех бόльших порядков. Это становится очевидным, если разложить
минор порядка s + 2 по элементам какой-либо строки (столбца): все миноры эле-
ментов этой строки являются определителями порядка s + 1, а поэтому равны ну-
лю.
       Определение. Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или,
иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля ми-
норы. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по опре-
делению, считают нулем.
       Ранг матрицы A будем обозначать символом r ( A) . Из определения ранга
следует, что для матрицы A размеров m × n справедливо соотношение
0 ≤ r ( A) ≤ min(m, n) .
       4. Два способа вычисления ранга матрицы.
                      а) Метод окаймляющих миноров
     Найдем этим способом ранг матрицы

                                 ⎛ − 2 3 0 − 1⎞
                                 ⎜                ⎟
                             A = ⎜ − 3 −1 3 2 ⎟.
                                 ⎜−8 1 6 3 ⎟
                                 ⎝                ⎠
Пусть в матрице найден минор M k -го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим
лишь те миноры ( k + 1) -го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор
M : если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k . В противном случае сре-
ди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор ( k + 1) -го порядка, и вся
процедура повторяется.
      Применяя описанный метод к матрице A , найдем r ( A) = 2 .
      Ясно, что перебирать таким способом миноры в поисках базисного – задача,
связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Су-
ществует, однако, более простой способ нахождения ранга матрицы – при помо-
щи элементарных преобразований.
                    б) Метод элементарных преобразований
      Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют сле-
дующие преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одной строке другой строки;
3) перестановку строк;
4) такие преобразования столбцов.
      Преобразования 1 и 2 выполняются поэлементно.
      Комбинируя преобразования первого и второго вида, мы можем к любой
строке прибавить линейную комбинацию остальных строк.
      Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
                               (Без доказательства)