Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 21 стр.

                                               21


      5. Критерий совместности системы линейных уравнений. Рассмотрим
снова произвольную систему m линейных уравнений с n неизвестными, которую
запишем, как и раньше, в матричной форме:
                                    A x =b ,                          (8)

        ⎛ a11     a12    ...   a1n ⎞           ⎛ x1 ⎞        ⎛ b1 ⎞
        ⎜                            ⎟         ⎜ ⎟           ⎜ ⎟
           a      a 22   ...   a2 n ⎟          ⎜x ⎟          ⎜b ⎟
где A = ⎜ 21                           ,   x = ⎜ 2 ⎟,    b = ⎜ 2 ⎟.
        ⎜ ...      ...   ...    ... ⎟              M             M
        ⎜⎜                           ⎟         ⎜⎜ ⎟⎟         ⎜⎜ ⎟⎟
         ⎝ a m1   am 2   ...   a mn ⎟⎠          ⎝ xn ⎠        ⎝ bm ⎠
Матрицу A называют матрицей системы (8), а матрицу, полученную из матрицы
 A добавлением столбца свободных членов b , – расширенной матрицей системы
(8). Обозначим расширенную матрицу системы (8) символом ( A | b) :
                                ⎛ a11 a12 ... a1n b1 ⎞
                                ⎜                               ⎟
                                ⎜ a21 a22 ... a2 n b2 ⎟
                     ( A | b) = ⎜                                  .
                                    ...      ... ... ... ... ⎟
                                ⎜⎜                              ⎟⎟
                                   a
                                 ⎝ m1       a m2   ...   a mn bm⎠
Очевидно, что ранги матриц A и ( A | b) связаны неравенством
                                    r ( A | b) ≥ r ( A) .
      Упражнение. Ранг матрицы ( A | b) может быть лишь на единицу больше
ранга матрицы A . Объясните, почему.
       Вопрос о совместности системы (8) полностью решается следующей теоре-
мой.
      Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений
была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы
был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. чтобы r ( A | b) = r ( A) .
                            (Без доказательства)
      6. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)
решения систем линейных уравнений. Под элементарными преобразованиями
системы линейных уравнений понимаются следующие операции:
1) умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одному уравнению другого уравнения;
3) перемена местами уравнений в системе.
      Комбинируя элементарные преобразования первого и второго типов, мы
можем к любому уравнению прибавить другое уравнение, умноженное на произ-
вольное число.
      Производя элементарные преобразования в системе, мы получаем новую
систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соот-
ветствуют аналогичные преобразования над строками расширенной матрицы этой
системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию строк расширен-
ной матрицы соответствует некоторое элементарное преобразование в системе.