Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 22 стр.

                                           22


Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответст-
вующим преобразованиям над строками ее расширенной матрицы.
      Определение. Две системы линейных уравнений от одних и тех же неиз-
вестных называются равносильными, если каждое решение одной из них является
решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).
      Заметим, что число уравнений в равносильных системах может быть раз-
личным.
      Теорема. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений
переходит в равносильную систему.
                                 (Без доказательства)
      Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных
преобразований система уравнений приводится к такому виду, чтобы матрица
системы оказалась треугольной. Для упрощения изложения мы будем иметь дело
не с самой системой (6), а с расширенной матрицей этой системы (производя при
этом элементарные преобразования только над строками матрицы).
      Рассмотрим алгоритм применения метода Гаусса на простых примерах.
                                   ⎧ x + y = 1,
      Пример 1. Решить систему ⎨
                                   ⎩− x − y = 2.
      Преобразуем расширенную матрицу системы:
                                            C +C
                          ⎛ 1 1 1 ⎞ 2 1 ⎛ 1 1 1⎞
                         ⎜⎜                ⎟⎟      ~ ⎜⎜        ⎟⎟ .
                          ⎝ −1 −1 2⎠                  ⎝ 0 0 3⎠
Отсюда следует, что r ( A) = 1 , r ( A | b) = 2 , т.е. исходная система несовместна.
Заметим, что, применяя метод Гаусса (т.е. исключая неизвестные), мы одновре-
менно проводим исследование системы на совместность (т.е. отыскиваем ранги
матрицы системы и расширенной матрицы).
                                   ⎧ x + y = 1,
      Пример 2. Решить систему ⎨
                                   ⎩− x − y = −1.
      Исследуем систему на совместность:
                                            C +C
                           ⎛ 1 1 1 ⎞ 2 1 ⎛1 1 1⎞
                          ⎜⎜                ⎟⎟     ~ ⎜⎜        ⎟⎟ .
                           ⎝ − 1 − 1 − 1⎠             ⎝ 0 0 0⎠
Отсюда следует, что r ( A) = r ( A | b) = 1 – система совместна.
       Итак, полученная система, равносильная исходной, содержит одно уравне-
ние с двумя неизвестными. Решение этой системы может быть найдено только в
том случае, если мы придадим произвольное действительное значение одному из
неизвестных. Тогда другое неизвестное можно выразить через первое.
       Заметим, что неизвестные, значения которых можно выбирать произвольно,
называют свободными. Число свободных неизвестных определяется по формуле
n − r , где n – число неизвестных в исходной системе, r – ранг матрицы системы
(совпадающий с рангом расширенной матрицы в силу совместности системы).