Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 20 стр.

                                            20


      Идея практического метода вычисления ранга матрицы
                                  ⎛ a11          a12    ...   a1n ⎞
                                  ⎜                                 ⎟
                                  ⎜a             a 22   ...   a2 n ⎟
                              A = ⎜ 21
                                      ...         ...   ...    ... ⎟
                                  ⎜⎜                                ⎟
                                   ⎝ a m1        am 2   ...   a mn ⎟⎠
заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную матри-
цу A приводят к виду
                         ⎛b    b12 ... b1r b1, r + 1 ... b1n ⎞
                         ⎜ 11                                   ⎟
                         ⎜ 0 b22 ... b2 r b2 , r + 1 ... b2 n ⎟
                         ⎜ ...  ... ... ...      ...    ... ... ⎟
                         ⎜                                      ⎟,
                     B=⎜ 0       0 ... brr br , r + 1 ... br n ⎟
                         ⎜ 0     0 ...      0     0     ...  0 ⎟
                         ⎜                                      ⎟
                         ⎜ ...  ... ... ...      ...    ... ... ⎟
                         ⎜                                      ⎟
                         ⎝ 0     0 ...      0     0     ...  0 ⎠
в котором «диагональные» элементы b11 , b22 , ..., brr отличны от нуля, а элементы,
расположенные ниже «диагональных», равны нулю. Условимся называть матрицу
B такого вида треугольной (иначе, ее называют диагональной, трапециевидной
или лестничной). После приведения матрицы A к треугольному виду можно сра-
зу записать, что r ( A) = r .
      В самом деле, r ( A) = r ( B ) (т.к. элементарные преобразования не меняют
ранга). Но у матрицы B существует отличный от нуля минор порядка r :
                     b11 b12 ... b1r
                      0 b22 ... b2 r
                                      = b11 ⋅ b22 ⋅... ⋅ brr ≠ 0 ,
                     ... ... ... ...
                     0   0 ... brr
а любой минор порядка r + 1 содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.
     Сформулируем теперь практическое правило вычисления ранга матрицы A
с помощью элементарных преобразований: для нахождения ранга матрицы A
следует с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному
виду B . Тогда ранг матрицы A будет равен числу ненулевых строк в полученной
матрице B .
     Упражнение. Найти методом элементарных преобразований ранг матрицы
                                 ⎛ − 2 3 0 − 1⎞
                                 ⎜            ⎟
                             A = ⎜ − 3 −1 3 2 ⎟.
                                 ⎜−8 1 6 3 ⎟
                                 ⎝            ⎠