Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 34 стр.

                                       34


      Для того чтобы установить корректность определения, следует доказать,
что входящие в это определение векторы e1 , e2 ,..., en образуют один из базисов
n -мерного пространства E . А для этого (в силу теоремы о связи между понятия-
ми базиса и размерности) достаточно доказать, что эти элементы линейно незави-
симы, т.е. равенство
                              α1e1 + α 2 e2 + ... + α n en = 0             (13)
возможно лишь при α1 = α 2 = ... = α n = 0 .
      Докажем это. Пусть k – любой из номеров 1,2,..., n . Умножая равенство
(13) скалярно на элемент ek и пользуясь аксиомами скалярного произведения и
соотношениями (12), мы получим, что α k = 0 .
      Ценность понятия ортонормированного базиса была бы невелика, если бы
не следующая теорема.
      Теорема. Во всяком n -мерном евклидовом пространстве существует ор-
тонормированный базис.
                                (Без доказательства)
      Произвольный ортонормированный базис любого евклидова пространства
обладает свойствами, аналогичными свойствам декартова прямоугольного базиса
(на плоскости и в пространстве геометрических векторов). Так, например, в орто-
нормированном базисе скалярное произведение двух любых векторов равно сум-
ме произведений соответствующих координат этих векторов.
      Еще раз подчеркнем, что существенным отличием произвольных векторных
пространств от их частного случая, евклидовых пространств, является то, что в
векторном пространстве не определены метрические соотношения между его
элементами.