Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 31 стр.

                                                31


рических векторов на плоскости или в пространстве. Векторные пространства, в
которых определено указанное правило, называются евклидовыми пространства-
ми.
      Дадим более строгое
      Определение. Вещественное векторное пространство E называется веще-
ственным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством),
если выполнены следующие два требования:
I.    Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого про-
      странства x и y ставится в соответствие вещественное число, называемое
      скалярным произведением этих элементов (и обозначаемое символом
      ( x, y ) ).
II.   Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:
      1) ( x, y ) = ( y , x ) (коммутативность или симметрия);
      2) ( x1 + x2 , y ) = ( x1 , y ) + ( x2 , y ) (дистрибутивность скалярного произве-
         дения относительно сложения);
      3) (λx, y ) = λ ( x, y ) ∀ λ ∈ R ;
      4) ( x, x ) > 0 , если x ≠ 0 ; ( x, x) = 0 , если x = 0 .
      Пример 1. Рассмотрим векторные пространства V2 или V3 геометрических
векторов на плоскости или в пространстве. Скалярное произведение любых двух
векторов определим стандартным образом (как произведение длин этих векторов
на косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии доказывается,
что в этом случае выполняются аксиомы 1) – 4). Следовательно, пространства V2
и V3 являются евклидовыми пространствами.
      Пример 2. Рассмотрим          n -мерное координатное пространство R n . Если
x = ( x1 ,..., xn ) ∈ R n , y = ( y1 ,..., yn ) ∈ R n , то скалярное произведение ( x, y ) оп-
                              def
ределим равенством ( x, y ) = x1 y1 + ... + xn yn . В этом случае выполнение аксиом
1) – 4) легко проверяется.
       Следующая теорема справедлива для совершенно произвольного евклидова
пространства как конечной, так и бесконечной размерности.
       Теорема. Для любых двух элементов x и y евклидова пространства спра-
ведливо неравенство
                                     ( x, y ) 2 ≤ ( x, x ) ⋅ ( y , y ) ,
называемое неравенством Коши-Буняковского.
Δ Для любого вещественного числа λ в силу аксиомы 4) скалярного произведе-
ния справедливо неравенство
                              ( λx − y , λx − y ) ≥ 0 .
В силу аксиом 1) – 3) последнее неравенство можно переписать в виде
                            λ2 ( x, x) − 2λ ( x, y ) + ( y, y ) ≥ 0 .