Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 30 стр.

                                           30


ются линейно зависимыми. При этом число n называется размерностью про-
странства L .
      Размерность векторного пространства, состоящего из одного нулевого век-
тора, принимается равной нулю.
      Размерность пространства L обычно обозначают символом dim L .
      Определение. Векторное пространство L называется бесконечномерным,
если в нем существует любое число линейно независимых векторов. В этом слу-
чае пишут dim L = ∞ .
      Выясним связь между понятиями базиса и размерности пространства.
      Теорема. Если L – векторное пространство размерности n , то любые n
линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.
Δ Пусть e1 , e2 ,..., en – произвольная система n линейно независимых векторов
пространства L (существование хотя бы одной такой системы следует из опреде-
ления n -мерного пространства). Если x – любой вектор пространства L , то со-
гласно определению система из n + 1 векторов x, e1 , e2 ,..., en линейно зависима,
т.е. найдутся не все равные нулю числа      α 0 ,α1 ,α 2 ,...,α n такие, что справедливо
равенство
                         α 0 x + α1e1 + α 2e2 + ... + α n en = 0 .                  (9)
Заметим, что число   α 0 заведомо отлично от нуля (ибо в противном случае из ра-
венства (9) вытекала бы линейная зависимость векторов e1 , e2 ,..., en ). Но тогда,
деля равенство (9) на α 0 и полагая
                               α1          α                 α
                      β1 = −      , β 2 = − 2 , ... , β n = − n ,
                               α0          α0                α0
получаем из (9)
                               x = β1e1 + β 2e2 + ... + β n en .
Так как x – произвольный элемент из L , то последнее равенство доказывает, что
система векторов e1 , e2 ,..., en является базисом пространства L . ▲
      Теорема. Если векторное пространство L имеет базис, состоящий из n
векторов, то dim L = n .
                                (Без доказательства)
                       ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
      1. Скалярное произведение. В курсе аналитической геометрии вводится
понятие скалярного произведения двух векторов (на плоскости или в пространст-
ве), которое обладает четырьмя основными свойствами. Мы рассмотрим вектор-
ные пространства произвольной природы, для элементов которых каким-либо
способом (причем, безразлично каким) определено правило, ставящее в соответ-
ствие любым двум элементам число, называемое скалярным произведением этих
элементов. При этом важно только, чтобы это правило обладало теми же четырь-
мя свойствами, что и правило составления скалярного произведения для геомет-