ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
28
2) Если среди векторов
n
xxx ,...,,
21
некоторые образуют линейно зависи-
мую систему, то и вся система
n
xxx ,...,,
21
линейно зависима.
Δ
Действительно, пусть векторы
k
xxx ,...,,
21
, n
k
≤
, линейно зависимы. Значит,
существует нетривиальная линейная комбинация
kk
xxx
α
α
α
++
+
...
2211
, равная
нулевому вектору. Но тогда, полагая
0...
1
=
=
=
+ nk
α
α
, получим также нетриви-
альную линейную комбинацию
nkkk
xxxxx ⋅++⋅
+
+
+
+
+
0...0...
12211
α
α
α
,
равную нулевому вектору.
▲
Упражнение
. Докажите, что всякая часть линейно независимого набора век-
торов является линейно независимым набором.
2. Базис и размерность. Фундаментальным вопросом теории векторных
пространств является вопрос о том, можно ли, а если можно, то как, произволь-
ный вектор пространства представить в виде линейной комбинации фиксирован-
ного набора векторов из этого пространства. Далее
мы получим ответ на этот во-
прос.
Определение
. Система линейно независимых векторов
},...,,{
21 n
eee
век-
торного пространства
L
называется базисом этого пространства, если любой век-
тор из
L
может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой
системы, т.е. для каждого вектора
L
x
∈
существуют вещественные числа
n
α
α
α
,...,,
21
такие, что имеет место равенство
nn
eeex
α
α
α
+
+
+
= ...
2211
.
Это равенство называется разложением вектора
x
по базису
n
eee ,...,,
21
, а числа
n
α
α
α
,...,,
21
называются координатами вектора
x
относительно базиса (или в
базисе)
n
eee ,...,,
21
.
Упражнение
. Докажите, что базис является максимальным линейно незави-
симым набором векторов: любой набор, содержащий его как собственное под-
множество, линейно зависим.
Теорема (о единственности разложения по базису)
. Каждый вектор
x
про-
странства
L
может быть разложен по базису
n
eee ,...,,
21
единственным обра-
зом, т.е. координаты каждого вектора
x
в базисе
n
eee ,...,,
21
определяются од-
нозначно.
Δ
Допустим, что для некоторого элемента
L
x
∈
существуют два разложения по
одному и тому же базису:
nn
eeex
α
α
α
+
+
+
= ...
2211
и
nn
eeex
β
β
β
+
+
+
=
...
2211
.
Вычитая почленно из первого равенства второе, получим
0)(...)()(
222111
=
−
+
+
−
+
−
nnn
eee
β
α
β
α
β
α
.
28 2) Если среди векторов x1 , x2 ,..., xn некоторые образуют линейно зависи- мую систему, то и вся система x1 , x2 ,..., xn линейно зависима. Δ Действительно, пусть векторы x1 , x2 ,..., xk , k ≤ n , линейно зависимы. Значит, существует нетривиальная линейная комбинация α1 x1 + α 2 x2 + ... + α k xk , равная нулевому вектору. Но тогда, полагая α k +1 = ... = α n = 0 , получим также нетриви- альную линейную комбинацию α1 x1 + α 2 x2 + ... + α k xk + 0 ⋅ xk +1 + ... + 0 ⋅ xn , равную нулевому вектору. ▲ Упражнение. Докажите, что всякая часть линейно независимого набора век- торов является линейно независимым набором. 2. Базис и размерность. Фундаментальным вопросом теории векторных пространств является вопрос о том, можно ли, а если можно, то как, произволь- ный вектор пространства представить в виде линейной комбинации фиксирован- ного набора векторов из этого пространства. Далее мы получим ответ на этот во- прос. Определение. Система линейно независимых векторов {e1 , e2 ,..., en } век- торного пространства L называется базисом этого пространства, если любой век- тор из L может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы, т.е. для каждого вектора x ∈ L существуют вещественные числа α1 ,α 2 ,...,α n такие, что имеет место равенство x = α1e1 + α 2e2 + ... + α n en . Это равенство называется разложением вектора x по базису e1 , e2 ,..., en , а числа α1 ,α 2 ,...,α n называются координатами вектора x относительно базиса (или в базисе) e1 , e2 ,..., en . Упражнение. Докажите, что базис является максимальным линейно незави- симым набором векторов: любой набор, содержащий его как собственное под- множество, линейно зависим. Теорема (о единственности разложения по базису). Каждый вектор x про- странства L может быть разложен по базису e1 , e2 ,..., en единственным обра- зом, т.е. координаты каждого вектора x в базисе e1 , e2 ,..., en определяются од- нозначно. Δ Допустим, что для некоторого элемента x ∈ L существуют два разложения по одному и тому же базису: x = α1e1 + α 2e2 + ... + α n en и x = β1e1 + β 2e2 + ... + β n en . Вычитая почленно из первого равенства второе, получим (α1 − β1 )e1 + (α 2 − β 2 )e2 + ... + (α n − β n )en = 0 .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »