Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 28 стр.

                                            28


      2) Если среди векторов x1 , x2 ,..., xn некоторые образуют линейно зависи-
мую систему, то и вся система x1 , x2 ,..., xn линейно зависима.
Δ   Действительно, пусть векторы x1 , x2 ,..., xk , k ≤ n , линейно зависимы. Значит,
существует нетривиальная линейная комбинация        α1 x1 + α 2 x2 + ... + α k xk , равная
нулевому вектору. Но тогда, полагая α k +1 = ... = α n = 0 , получим также нетриви-
альную линейную комбинацию α1 x1 + α 2 x2 + ... + α k xk + 0 ⋅ xk +1 + ... + 0 ⋅ xn ,
равную нулевому вектору. ▲
       Упражнение. Докажите, что всякая часть линейно независимого набора век-
торов является линейно независимым набором.
       2. Базис и размерность. Фундаментальным вопросом теории векторных
пространств является вопрос о том, можно ли, а если можно, то как, произволь-
ный вектор пространства представить в виде линейной комбинации фиксирован-
ного набора векторов из этого пространства. Далее мы получим ответ на этот во-
прос.
       Определение. Система линейно независимых векторов {e1 , e2 ,..., en } век-
торного пространства L называется базисом этого пространства, если любой век-
тор из L может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой
системы, т.е. для каждого вектора x ∈ L существуют вещественные числа
α1 ,α 2 ,...,α n такие, что имеет место равенство
                             x = α1e1 + α 2e2 + ... + α n en .
Это равенство называется разложением вектора x по базису e1 , e2 ,..., en , а числа
α1 ,α 2 ,...,α n называются координатами вектора x относительно базиса (или в
базисе) e1 , e2 ,..., en .
     Упражнение. Докажите, что базис является максимальным линейно незави-
симым набором векторов: любой набор, содержащий его как собственное под-
множество, линейно зависим.
     Теорема (о единственности разложения по базису). Каждый вектор x про-
странства L может быть разложен по базису e1 , e2 ,..., en единственным обра-
зом, т.е. координаты каждого вектора x в базисе e1 , e2 ,..., en определяются од-
нозначно.
Δ Допустим, что для некоторого элемента x ∈ L существуют два разложения по
одному и тому же базису:
            x = α1e1 + α 2e2 + ... + α n en и x = β1e1 + β 2e2 + ... + β n en .
Вычитая почленно из первого равенства второе, получим
                 (α1 − β1 )e1 + (α 2 − β 2 )e2 + ... + (α n − β n )en = 0 .