Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 27 стр.

                                            27


      Линейная комбинация    α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn называется нетривиальной,
если в ней хотя бы один из коэффициентов α i отличен от нуля. Линейная комби-
нация вида 0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x2 + ... + 0 ⋅ xn называется тривиальной; она, очевидно, рав-
на нулевому вектору 0 .
      Определение. Система векторов {xi } называется линейно зависимой, если
существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов,
равная нулевому вектору. В противном случае, т.е. если только тривиальная ли-
нейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору, векторы называют-
ся линейно независимыми.
      Теорема (критерий линейной зависимости). Для того чтобы система век-
торов {xi } линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и дос-
таточно, чтобы, по крайней мере, один из этих векторов являлся линейной ком-
бинацией остальных.
Δ Необходимость. Пусть векторы x1, x2 ,..., xn линейно зависимы, т.е. справед-
ливо равенство
                         α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn = 0 ,
в котором хотя бы одно из чисел  α i отлично от нуля. Пусть, для определенности,
α1 ≠ 0 . Тогда, разделив обе части последнего равенства на α1 , мы можем пере-
писать его в виде
                                   α2     α            α
                          x1 = −      x2 − 3 x3 − ... − n xn .
                                   α1     α1           α1
Последнее и означает, что вектор x1 есть линейная комбинация векторов {xi } .
      Достаточность. Пусть один из векторов (например, x1 ) является линейной
комбинацией остальных. Это означает, что найдутся числа               α 2 ,α 3 ,...,α n такие,
что справедливо равенство
                         x1 = α 2 x2 + α 3 x3 + ... + α n xn .
Это равенство можно переписать в виде
                     (−1) x1 + α 2 x2 + α 3 x3 + ... + α n xn = 0 .
Так как среди чисел (−1),α 2 , α 3 ,..., α n по крайней мере одно отлично от нуля, то
последнее равенство устанавливает линейную зависимость векторов
x1 , x2 ,..., xn .▲
        Докажем еще два простых, но важных предложения о линейной зависимо-
сти.
        1) Если среди векторов x1 , x2 ,..., xn имеется хотя бы один нулевой вектор,
то вся система векторов линейно зависима.
Δ В самом деле, если, например, x1 = 0 , то, полагая α1 = 1,α 2 = ... = α n = 0 ,
имеем нетривиальную линейную комбинацию 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ x 2 + ... + 0 ⋅ x n = 0 .▲