Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

26
Δ
Предположим, что в пространстве существуют два нулевых элемента
1
0 и
2
0 .
Тогда, полагая в аксиоме 3 сначала
1
0
=
x ,
2
00
=
, а затем
2
0=x ,
1
00 = , полу-
чим два равенства
121
000
=
+
и
212
000
=
+
, левые части которых равны в силу
аксиомы 1. Следовательно, равны и правые части этих равенств, т.е.
21
00 =
, и
единственность нулевого элемента установлена.
▲
2) Для каждого элемента векторного пространства существует единствен-
ный противоположный элемент.
Δ
Предположим, что для некоторого элемента
L
x
∈
существуют два противо-
положных элемента
1
y и
2
y , так что
0
1
=
+
yx
и
0
2
=
+
yx
. Но тогда в силу
аксиом 3, 2 и 1 получим
222212111
00)()(0 yyyyxyyxyyy =
+
=
+
=
+
+
=
+
+
=+=
, т.е.
21
yy =
,
и единственность для каждого
x
противоположного элемента доказана. ▲
3)
Lxx ∈
∀
=⋅ 00
.
Δ
Пусть )(
L
x
∈ – произвольный элемент, а y – ему противоположный. После-
довательно применяя аксиомы векторного пространства (3, 4, 2, 5, 1, 7, 5, 4), бу-
дем иметь
=+⋅+
⋅
=
+
+
⋅
=
++
⋅
=
+
⋅
=⋅ yxxyxxyxxxx )10()0()(0000
01)10(
=
+
=
+
⋅
=++ yxyxyx
. ▲
4) Для любого элемента
L
x
∈
противоположный ему элемент
)(
x
−
равен
произведению элемента
x
на число
)1(
−
, т.е.
x
x
−
=
−
)1(
.
Δ
Имеем: 00))1(1()1(1)1(
=
=
−
+
=
−+
=
−
+
xxxxxx , так что элемент
x
)1(−
является противоположным для
x
. ▲
Отметим также, что из определения векторного пространства следует суще-
ствование и единственность разности любых двух элементов векторного про-
странства
x
и y , которая определяется как элемент z , удовлетворяющий усло-
вию
yz
x
+=
. Этим элементом служит сумма y
x
z )1(
−
+
=
.
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СИСТЕМ
ВЕКТОРОВ. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ.
1. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Пусть
L
–
произвольное вещественное векторное пространство,
Lxxxx
ni
⊂= },...,,{}{
21
,
R
ni
⊂= },...,,{}{
21
α
α
α
α
. Линейной комбинацией векторов
}{
i
x
с коэффициен-
тами
}{
i
α
называется вектор
L
x
∈ , получаемый по правилу
∑
=
=+++=
n
i
iinn
xxxxx
1
2211
...
αααα
. 
                                            26


Δ   Предположим, что в пространстве существуют два нулевых элемента 01 и 02 .
Тогда, полагая в аксиоме 3 сначала x = 01 , 0 = 02 , а затем x = 02 , 0 = 01 , полу-
чим два равенства 01 + 02 = 01 и 02 + 01 = 02 , левые части которых равны в силу
аксиомы 1. Следовательно, равны и правые части этих равенств, т.е. 01 = 02 , и
единственность нулевого элемента установлена.▲
      2) Для каждого элемента векторного пространства существует единствен-
ный противоположный элемент.
Δ Предположим, что для некоторого элемента x ∈ L существуют два противо-
положных элемента y1 и y2 , так что x + y1 = 0 и x + y2 = 0 . Но тогда в силу
аксиом 3, 2 и 1 получим
 y1 = y1 + 0 = y1 + ( x + y2 ) = ( y1 + x) + y2 = 0 + y2 = y2 + 0 = y2 , т.е. y1 = y2 ,
и единственность для каждого x противоположного элемента доказана. ▲
      3) 0 ⋅ x = 0 ∀ x ∈ L .
Δ  Пусть x (∈ L) – произвольный элемент, а y – ему противоположный. После-
довательно применяя аксиомы векторного пространства (3, 4, 2, 5, 1, 7, 5, 4), бу-
дем иметь
       0 ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 = 0 ⋅ x + ( x + y ) = (0 ⋅ x + x ) + y = (0 ⋅ x + 1 ⋅ x ) + y =
                        (0 + 1) x + y = 1 ⋅ x + y = x + y = 0 . ▲
      4) Для любого элемента x ∈ L противоположный ему элемент ( − x) равен
произведению элемента x на число ( −1) , т.е. ( −1) x = − x .
Δ Имеем: x + (−1) x = 1 ⋅ x + (−1) x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0 , так что элемент
(−1) x является противоположным для x . ▲
      Отметим также, что из определения векторного пространства следует суще-
ствование и единственность разности любых двух элементов векторного про-
странства x и y , которая определяется как элемент z , удовлетворяющий усло-
вию x = z + y . Этим элементом служит сумма z = x + ( −1) y .

      ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СИСТЕМ
                 ВЕКТОРОВ. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ.
     1. Линейно зависимые и независимые системы векторов. Пусть L –
произвольное вещественное векторное пространство, {xi } = {x1 , x2 ,..., xn } ⊂ L ,
{α i } = {α1 , α 2 ,..., α n } ⊂ R . Линейной комбинацией векторов {xi } с коэффициен-
тами {α i } называется вектор x ∈ L , получаемый по правилу
                                                              n
                       x = α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn =   ∑α x .
                                                             i =1
                                                                    i i

Страницы