Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 24 стр.

                                       24


      Теорема (о числе решений). Пусть для системы m линейных уравнений с n
неизвестными выполнено условие совместности, т.е. ранг r матрицы системы
равен рангу ее расширенной матрицы. Тогда, если ранг матрицы системы равен
числу неизвестных ( r = n ), то система имеет единственное решение. Если же
ранг матрицы системы меньше числа неизвестных ( r < n ), то система имеет
бесконечное множество решений, а именно: некоторым n − r неизвестным
можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся r неизвестных оп-
ределятся уже единственным образом.
                              (Без доказательства)
                                ⎧ x − y + 3 z = 0,
                                ⎪
     Упражнение. Решить систему ⎨2 x + 3 y − z = 0,
                                ⎪3 x + 2 y + 2 z = 0.
                                ⎩
               ВЕКТОРНЫЕ (ЛИНЕЙНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА
     1. Понятие векторного пространства.
     Определение. Множество L элементов любой природы называется вектор-
ным пространством, если выполнены следующие три требования:
I.   Имеется правило, посредством которого любым двум элементам x, y ∈ L
     ставится в соответствие третий элемент этого множества, называемый сум-
     мой элементов x и y и обозначаемый символом x + y .
II.  Имеется правило, посредством которого любому элементу x ∈ L и любому
     числу λ (∈ Q, R, C ) ставится в соответствие элемент этого множества, на-
     зываемый произведением элемента x на число λ и обозначаемый симво-
     лом λx .
III. Для любых элементов x, y, z ∈ L и любых чисел λ и μ выполнены сле-
     дующие аксиомы:
     1) x + y = y + x ;
     2) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ;
     3) ∃ 0 ∈ L : x + 0 = x ∀x ∈ L . Этот элемент 0 пространства L называют
        нулевым (не путать с числом 0 !);
     4) ∀ x ∈ L ∃ (− x) ∈ L : x + (− x) = 0 . Такой элемент ( − x ) называют про-
        тивоположным для x ;
     5) λ ( x + y ) = λx + λy ;
     6) (λ + μ ) x = λx + μx ;
     7) λ ( μx ) = (λμ ) x ;
     8) 1 ⋅ x = x .
     Замечание 1. Если в пункте II мы ограничиваемся вещественными числами,
то L называется вещественным векторным пространством; если же определено
умножение на любое комплексное число, то векторное пространство называется
комплексным.