Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 25 стр.

                                        25


      Замечание 2. Элементы произвольного векторного пространства принято
называть векторами. То обстоятельство, что часто термин «вектор» употребляется
в более узком смысле, при этом не приводит к недоразумениям, а, напротив, об-
ращаясь к сложившимся геометрическим представлениям, можно уяснить, а за-
частую и предвидеть ряд результатов, справедливых для векторных пространств
произвольной природы.
      При введении понятия векторного пространства мы абстрагируемся не
только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образо-
вания суммы элементов и произведения элемента на число. Важно лишь, чтобы
эти правила удовлетворяли аксиомам векторного пространства.
      Примеры векторных пространств.
1. Пространство V2 геометрических векторов на плоскости.
2. Пространство V3 геометрических векторов в трехмерном пространстве.
3. Множество Pn (R) многочленов с вещественными коэффициентами степени не
   выше n образует векторное пространство относительно операций сложения
   многочленов и умножения многочлена на вещественное число.
4. Множество M m× n (R ) матриц одинаковых размеров образуют векторное про-
   странство относительно операций сложения матриц и умножения матрицы на
   число. В частности, часто встречается и используется векторное пространство
   матриц-строк M 1× n ( R) ( M 1× n (C ) ). Для него принято другое обозначение –
   R n ( C n ). Элементами этого векторного пространства служат упорядоченные
   совокупности n произвольных вещественных (комплексных) чисел
   ( x1 , x2 ,..., xn ) .
5. (Нестандартный пример). Рассмотрим множество R+ всех положительных ве-
   щественных чисел. Определим «сумму» двух элементов x, y ∈ R+ как произ-
   ведение вещественных чисел x и y (понимаемое в обычном смысле):
    x + y a xy . «Произведение» элемента x ∈ R+ на вещественное число λ оп-
                                                               λ
  ределим как возведение числа x в степень λ : λx a x . Нулевым элементом
  пространства будет служить вещественное число 1, а противоположным эле-
  ментом (для данного элемента x ) будет число 1 . Проверьте выполнение ак-
                                                      x
  сиом векторного пространства (которые в обычной записи принимают другой
   вид: вместо λ ( μx ) = (λμ ) x мы имеем x ( μ )λ       λμ
                                                = x и т.д.). В этом примере,
   быть может, для обозначения суммы элементов пространства и для произведе-
   ния элемента пространства на число предпочтительнее другие обозначения
   (например, ⊕ и ⊗ ).
      2. Некоторые свойства произвольных векторных пространств. Из опре-
деления векторного пространства следует ряд утверждений, справедливых для
произвольных векторных пространств.
      1) В векторном пространстве существует единственный нулевой элемент.