Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 23 стр.

                                         23


      В данном случае n − r = 1. Положим y = C ; тогда x = 1 − C . В итоге полу-
чаем общее решение системы:
                   ⎛1 − C ⎞
               x = ⎜⎜     ⎟⎟ , где C – произвольная постоянная.
                   ⎝  C    ⎠
Придавая постоянной C различные действительные значения, получаем беско-
нечное множество решений исходной системы.
     При желании можно произвести проверку:
                   ⎛ 1 1 ⎞⎛1 − C ⎞ ⎛ 1 − C + C ⎞ ⎛ 1 ⎞
                  ⎜⎜        ⎟⎟⎜⎜     ⎟⎟ = ⎜⎜         ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ .
                   ⎝ − 1 − 1⎠⎝ C ⎠ ⎝ − 1 + C − C ⎠ ⎝ − 1⎠
                                 ⎧ x − 2 y + 3z = 0,
      Пример 3. Решить систему ⎨
                                 ⎩2 x + y − z = 0.
      Данная система apriori является совместной, т.к. она однородна (все сво-
бодные члены равны нулю). Однородная система всегда имеет нулевое (или три-
виальное) решение: x = y = z = 0 . Для однородных систем особый интерес пред-
ставляет вопрос о существовании ненулевых (или нетривиальных) решений. Так
называют всякое решение системы, у которого значение хоть одного неизвестного
отлично от нуля.
      Преобразуем расширенную матрицу системы:
                                        C − 2C
                      ⎛ 1 − 2 3 0⎞ 2 1 ⎛1 − 2 3 0⎞
                      ⎜⎜                ⎟⎟     ~ ⎜⎜                 ⎟⎟ .
                      ⎝ 2 1 −1 0⎠                 ⎝ 0 5 − 7 0⎠
Имеем r ( A) = r ( A | b) = 2 – система совместна. Тогда n − r = 3 − 2 = 1 – количе-
ство свободных неизвестных. Полагая z = C (где C – произвольная постоянная),
получим
                                 ⎧ x − 2 y + 3C = 0,
                                 ⎨
                                 ⎩ 5 y − 7C = 0.
               C       7C
Отсюда x = −     , y=      . Таким образом, общее решение системы имеет вид
               5        5
                     ⎛ − C 5⎞
                     ⎜        ⎟
                 x = ⎜ 7C 5 ⎟ , где C – произвольная постоянная.
                     ⎜ C ⎟
                     ⎝        ⎠
      Как мы отмечали ранее, система линейных уравнений может либо вовсе не
иметь решений, либо иметь единственное решение, либо иметь их несколько (в
последнем случае, оказывается, система всегда имеет бесконечное множество ре-
шений). Это утверждение исчерпывает все возможные ситуации. При изложении
(на примерах) метода Гаусса мы получили возможность эвристически дать ответ
на вопрос о числе решений (в случае совместности системы). Строгий ответ на
этот вопрос дает следующая теорема.