Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 29 стр.

                                               29


В силу линейной независимости базисных векторов e1 , e2 ,..., en последнее равен-
ство возможно тогда и только тогда, когда                α1 − β1 = 0, ...,α n − β n = 0 или
α1 = β1 , ...,α n = β n . Единственность разложения по базису доказана. ▲
      Главное значение базиса заключается в том, что операции сложения векто-
ров и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствую-
щие операции над числами – координатами этих векторов. А именно, справедлива
следующая
      Теорема. При сложении двух любых векторов линейного пространства L
их координаты (относительно любого базиса пространства) складываются; при
умножении произвольного вектора на любое число λ все координаты этого век-
тора умножаются на λ .
Δ Пусть e1 , e2 ,..., en – произвольный базис пространства L , а
            x = α1e1 + α 2e2 + ... + α n en и y = β1e1 + β 2e2 + ... + β n en
– любые два элемента этого пространства. Тогда из аксиом векторного простран-
ства получаем:
             x + y = (α1 + β1 )e1 + (α 2 + β 2 )e2 + ... + (α n + β n )en ,
                      λx = (λα1 )e1 + (λα 2 )e2 + ... + (λα n )en .
В силу единственности разложения по базису теорема доказана. ▲
                                                                       n
      Пример. Исследуем вопрос о базисе пространства R , введенного ранее
при рассмотрении примеров векторных пространств. Покажем, что n элементов
e1 = (1,0,0,...,0,0), e2 = (0,1,0,...,0,0), ... , en = (0,0,0,...,0,1) указанного про-
странства образуют базис.
Δ Во-первых, эти векторы линейно независимы. Проверка линейной независи-
мости набора {ei } состоит в определении значений α1 , α 2 ,...,α n , при которых
возможно равенство
                                n

                              ∑α e = 0 = (0,0,...,0) .
                               i =1
                                      i i

Но в силу только что доказанной теоремы
                               n

                              ∑α e = (α ,α ,...,α
                              i =1
                                      i i       1   2      n),

а последний вектор является нулевым лишь при условии                 α1 = α 2 = ... = α n = 0 .
Во-вторых, всякий вектор y = ( β1 , β 2 ,..., β n ) заведомо представим в виде линей-
ной комбинации векторов {ei }: y =          β1e1 + β 2e2 + ... + β n en и, значит, набор {ei }
образует базис. ▲
     Определение. Векторное пространство L называется n -мерным, если в нем
существуют n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов уже явля-