Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 32 стр.

                                                    32


Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадрат-
ного трехчлена является неположительность его дискриминанта D :
                                D = ( x , y ) 2 − ( x, x ) ⋅ ( y , y ) ≤ 0 .
Из неравенства D ≤ 0 сразу же следует неравенство Коши-Буняковского.
      В том случае, когда ( x, x) = 0 квадратный трехчлен λ (x, x) − 2λ(x, y) + ( y, y)
                                                                               2

вырождается в линейную функцию. Но в этом случае элемент x является нуле-
вым, так что ( x, y ) = 0 , и неравенство D ≤ 0 также справедливо. ▲
      Наша очередная задача – ввести в произвольном евклидовом пространстве
понятие нормы (или длины) каждого элемента. Для этого введем понятие норми-
рованного пространства.
      Определение. Векторное пространство E называется нормированным, если
выполнены следующие два требования:
I.    Имеется правило, посредством которого каждому элементу x ∈ E ставится
      в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) ука-
      занного элемента и обозначаемое символом x .
II.   Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:
      1) x > 0 , если x ≠ 0 ; x = 0 , если x = 0 ;
      2)     λx =| λ | ⋅ x
                      ∀x ∈ E , ∀λ ∈ R ;
      3) ∀x ∈ E ∀y ∈ E x + y ≤ x + y (неравенство треугольника).
     Теорема. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в
нем норму любого элемента x определить равенством
                                   x = ( x, x ) .                    (10)
Δ  Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением (10), спра-
ведливы аксиомы 1) – 3) из определения нормированного пространства.
      Справедливость для нормы аксиомы 1) следует из аксиомы 4) скалярного
произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2) следует из аксиом 1) и 3)
скалярного произведения.
      Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3), т.е. неравенст-
ва треугольника. Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского, которое пе-
репишем в виде
                             | ( x, y ) |≤ ( x, x) ⋅ ( y, y, ) .           (11)
      С помощью последнего неравенства, аксиом скалярного произведения и ра-
венства (10), получаем
            x + y = ( x + y, x + y ) = ( x, x) + 2( x, y ) + ( y, y ) ≤

           ≤ ( x, x ) + 2 ( x, x ) ⋅ ( y , y , ) + ( y , y ) =      (   ( x, x ) + ( y , y )   )2 =
           = ( x, x ) + ( y , y , ) = x + y .
Теорема доказана. ▲