Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 33 стр.

                                                33


      В любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие
угла между двумя произвольными элементами x и y этого пространства. Анало-
гично тому, как это делается в курсе аналитической геометрии (на плоскости и в
пространстве), мы назовем углом ϕ между элементами x и y тот (изменяющийся
в пределах от 0 до π ) угол, косинус которого определяется соотношением
                                     ( x, y )        ( x, y )
                       cos ϕ =                =                      .
                                     x ⋅ y      ( x, x ) ⋅ ( y , y )
     Данное нами определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши-
Буняковского (11) дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по моду-
лю не превосходит единицы.
     Будем называть два произвольных элемента x и y евклидова пространства
                                                                        ∧
E ортогональными, если ( x, y ) = 0 (в этом случае cos ( x, y ) = 0 ).
                                                              x+ y
                       x                                          Так выглядит сумма
                                                               геометрических векторов
                                                     y
     Снова проводя аналогию с геометрическими объектами, назовем сумму
x + y двух ортогональных элементов x и y гипотенузой прямоугольного тре-
угольника, построенного на элементах x и y .
      Во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: квад-
рат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В самом деле, поскольку x и y
ортогональны, а, следовательно, ( x, y ) = 0 , то в силу аксиом и определения нор-
мы
                           2
                   x+ y        = ( x + y , x + y ) = ( x , x ) + 2( x , y ) + ( y , y ) =
                                                2         2
                  = ( x, x ) + ( y , y ) = x
                                    + y .
     Ранее было введено понятие базиса n -мерного векторного пространства.
Все базисе в произвольном векторном пространстве являлись равноправными, и у
нас не было оснований предпочитать один базис другому. В евклидовом про-
странстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые орто-
нормированными базисами. Эти базисы играют ту же роль, что и декартов прямо-
угольный базис в аналитической геометрии.
      Определение. Говорят, что n элементов e1 , e2 ,..., en n -мерного евклидова
пространства E образуют ортонормированный базис этого пространства, если
эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е.
если
                                                  ⎧1 при i = k ,
                                     (ei , ek ) = ⎨                                         (12)
                                                  ⎩0 при i ≠ k .