Элементы линейной алгебры. Саакян Г.Р. - 17 стр.

                                            17


Эта система 2-х уравнений с тремя неизвестными решений не имеет, так как лю-
бая тройка чисел, удовлетворяющая первому уравнению, не может удовлетворять
второму.
      Пример 2. Система
                              ⎧ x + y = 1,
                              ⎨
                              ⎩2 x + 7 y = −3
имеет единственное решение x = 2 , y = −1.
     Пример 3. Рассмотрим систему линейных уравнений
                                   ⎧ x + y = 1,
                                   ⎪
                                   ⎨2 x + 2 y = 2 ,
                                   ⎪3 x + 3 y = 3 .
                                   ⎩
Пара чисел (1; 0) есть одно из решений этой системы трех уравнений с двумя не-
известными, (−1; 2) – другое решение. Эта система имеет бесконечно много ре-
шений: значения x = C , y = 1 − C при любом действительном значении C удов-
летворяют данной системе.
      Рассмотренные примеры систем линейных уравнений показывают, что, во-
обще говоря, система может либо вовсе не иметь решений, либо иметь единст-
венное решение, либо иметь их несколько (в последнем случае, оказывается, сис-
тема всегда имеет бесконечное множество решений).
      Определение. Система линейных уравнений, не имеющая ни одного реше-
ния, называется несовместной. Система, обладающая хотя бы одним решением,
называется совместной.
      Относительно каждой системы линейных уравнений могут быть поставлены
следующие вопросы:
1) Совместна заданная система или нет?
2) В случае, если система совместна, как определить, сколько она имеет решений
   – одно или несколько?
3) Как найти все решения системы?
      Ответ на все эти вопросы дает теория систем линейных уравнений.
      2. Правило Крамера. Ограничимся сначала рассмотрением систем, у кото-
рых число уравнений равно числу неизвестных (такие системы называют квад-
ратными).
      Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
                        ⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
                        ⎪a x + a x + ... + a x = b
                        ⎪ 21 1 22 2                       2n n        2
                        ⎨                                                  (7)
                        ⎪...............................................
                        ⎪⎩an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn
Определитель